辽宁省六校协作体2019-2020学年高二上学期期中考试数学(理)试卷 Word版含答案

2019—2020学年度上学期省六校协作体高二期中考试数 学 试 题

一选择题（共10道题，每题4分，共40分。每题4个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1.已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是( )

A．(1,1,1) B．(－4,6，－2) C．(2，－3,-1) D．(－2，－3,1) 2.已知两条直线l1:2xy10,l2:4x2y20，则l1,l2的距离为（ ）

A.25 5 B.

35 5

C. 5 D. 25 223. 圆xy2x8y130的圆心到直线axy10的距离为2，则a（ ）

A. 0或-1 B.0 C. 7 D. -1或7

y2x24.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：221(a0,b0)的一条渐近线与圆

ab(x2)2(y1)21相切，则双曲线C的离心率为（ ）

A．

4575 B． C． D． 34435.阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为

7，面积为12，则椭圆C的方程为（ ） 4x2y2x2y2x2y2x2y2A. D. 1 B. 1 C. 1 1

349131696.动直线l:xmy2m2= 0mR与圆C:xy2x4y40交于点A,B,则弦

22AB最短为

A．3 B.6 C．42 D．25 7.设抛物线y4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为3，那么|PF|（ ） 32A.

427 B. C.

333 D.4

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xy28.从椭圆221(ba0)上一点P向y轴作垂线，垂足恰为上焦点F又点A是椭圆

ab与y轴负半轴的交点，点B是椭圆与x轴负半轴的交点，且 AB//OP ，FA27182，则椭圆方程为（ ）

22x2y2x2y2x2y2y21 B. 11 D. 1 A. xC

5104182

29.如图，在边长为2的正方体ABCDA'B'C'D'中，P为平面ABCD内的一动点，PHBC于H，若|PA'||PH|4，则点P的轨迹为（ ）

22 A.椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆

x2y210.已知A，B，P是双曲线C:221(a0,b0)上不同的三点，直线PA的斜率为k1，

ab直线PB的斜率为k2，且k1，k2是关于x的方程4x2mx30的两个实数根，若

OAOB0，则双曲线C的离心率是（ ）

A. 7 2B. 2

C. 2 D.

3 2二．多选题（共3小题，每题4分，共12分。每题4个选项中，有两个正确选项，全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错得0分）

x2y211. 已知双曲线的渐近线方程为4x+3y=0,它的焦点是椭圆 的长轴端点，则此双12510曲线方程为_____离心率为______

55 x2y2x2y2A.1 B.1 C. e D.e34169916x2y2，斜率为112. 设椭圆的方程为 k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A,B24两点，M为线段AB的中点。下列结论正确的是( ) A.直线AB与OM垂直；

B.若点M 坐标为（1,1），则直线方程为2x+y-3=0； C.若直线方程为y=x+1，则点M坐标为，

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1433高中数学资料共享群284110736，每天都有更新，海量资料随意下载。

D.若直线方程为y=x+2，则AB42 .313. 以下四个命题中真命题的序号是______．

①平面内到两定点距离之比等于常数1的点的轨迹是圆；

x2y2②平面内与定点A（-3，0）和B（3，0）的距离之差等于4的点的轨迹为1；

45③点P是抛物线x24y上的动点，点P在x轴上的射影是M,点A的坐标是A(1,0)，则

PAPM的最小值是2+1；

2④已知P为抛物线y4x上一个动点，Q为圆x2y41上一个动点，那么点P到点

2Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是171

A. ① B. ② C. ③ D. ④ 三．填空题（本题共4道小题，每题2空，每空2分，共16分）

14.已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，则向量ab与a的夹角为________；若kab与

2a-b互相垂直，则k的值是________.

15．图1是抛物线型拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽42米，建立如下图2

所示的直角坐标系，则抛物线的解析式为________;水面下降1米后，水面宽是 _______米.

16.已知点A1,0，B1,0，若圆xy8x6y25m0上存在点P使

22PAPB0，则m的最大值为 ;此时点P的坐标为___________.

x2y217. 已知F1,F2是椭圆C:221(ab0)的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆Cab交于A,B两点且|AF1|2|BF1|，|AB||BF2|，则椭圆C的离心率为____；若a3， 则椭圆方程为__________. 四．解答题（共6小题，共82分）

18.(本小题12分)（1）求经过点(1,2)且在x轴上截距等于y轴上截距的直线方程；

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（2）求过直线x2y20与2xy20的交点，且与直线3x+4y10垂直的直线方程.

19. (本小题12分)已知△ABC的三个顶点坐标为A-1,1，B2,0，C3,1 (1)求△ABC的外接圆O1的方程；

(2) 若圆O1与圆O2：xy4x4y20相交,求两圆的公共弦长.

20. (本小题13分)如图所示的五面体ABCDEF中，平面

22ADE平面ABCD,

AEDE,AEDE,ABCD,ABBC,DAB60，AB=AD=4．

（1）求四棱锥EABCD的体积； （2）求证：EF平面ABCD

21．(本小题13分) 已知抛物线C的顶点在原点，对称

轴是y轴，直线l与抛物线C交于不同的两点A、B，线段AB中点M的纵坐标为2，且

|AF||BF|6.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）设抛物线的焦点为F，若直线l经过焦点F，求直线l的方程.

x2y2322. (本小题16分)已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，其中一个焦点F

2ab在直线y3x3上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线x-y30和直线x-y30与椭圆分别相交于点A、B、C、D，求

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AFBFCFDF的值;

（3）若直线l:yxt与椭圆交于P，Q两点，试求OPQ面积的最大值.

2y23.（本题满分16分）已知点F1,F2为双曲线C: x21(b0)的左、右焦点，过 F1b2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点A，且AF2F1（1）求双曲线C的方程；

30

(2)若直线l：y=kx2与双曲线C恒有两个不同交点P和Q且OPOQ2 （其中O为原点），求k的取值范围;

（3）过双曲线C上任意一点R作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为M,N，求RMRN的值.

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2019—2020学年度上学期省六校协作体高二期中考试数学答案

一．选择题

1.B. 2.A. 3.D. 4.C. 5.D. 6.C. 7.B. 8.D. 9.C . 10.A. 二．双选题 11.BC. 12.BD. 13.AD

x4y43三．填空题 14.

4 5, 15. ， x2y23431，-96355 17. 16. 36， ，

四．解答题

18. 解：(1)当直线过原点时，直线方程为2xy0； ……2分

72当直线不过原点时，设直线方程为

xy1(或xya) ……3分 aa直线经过(2,1)21a即a3

直线方程为xy30 ……4分

综上所述：直线方程为2xy0或xy30 ……6分

x2y20x2(2)由得，交点为(2,2). ……8

2xy20y2分

设所求直线 4x3yC0 代入点(2,2)得，C=-2 ……10分

故所求直线方程为4x3y20 ……12分 19.(1)设圆

O1的方程为xy+DxEyF0把△ABC各个顶点代入得， 222DEF0D24+2DF0E8 ……4分 ，解得，10+3DEF0F8故所求△ABC的外接圆O1x2y22x8y80（2）设两圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则M,N的坐标满足方程组 22xy4x4y20公众号“品数学”，一个提供数学解题研究，并且提供资料下载的公众号！

的方程为x2y22x8y80 ……6分

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两式相减得两圆的公共弦所在直线的方程为x2y10 ……8分

圆心

O1(1,4)到直线x2y10的距离

22d10255 ……10分

则弦长 MN2r1d25 ……12分 20. （Ⅰ）取AD中点N，连接EN．在ADE中，AEDE， 所以ENAD. 因为平面ADE平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD，EN平面ADE,所以

EN平面ABCD． ……4分

又因为AEDE，AD4，所以EN2.因为AB∥CD，ABBC，

DAB60,ABAD4,CD2， S梯形ABCD63 .……6分

1VE-ABCD632433所以 . ……8分

CD平面ABFE，（Ⅱ）因为AB∥CD，ABÌ平面ABFE，所以CD∥面ABFE…10

又因为CD平面CDEF，平面ABEF平面CDEFEF，所以CD∥EF． …12分

因为CD平面ABCD，EF平面ABCD，所以EF∥平面ABCD． .……13分 21. 解：（1）由题意可设抛物线C的标准方程为：x2py(p0)

设A（x1，y1）、B（x2，y2），则y1+y2 =4 ……3分 ∵|AF|+|BF|= y1+y2 + p =6，∴p=2，所以抛物线C的方程为：x4y ……6分

（2）由已知得k一定存在且k0;故可设直线l的方程为：y=kx+ 1， ……8分

则联立直线l与抛物线方程，整理可得： y(24k)y10 ……10分

k2k4022由韦达定理得，y1y224k2∴y1+y224k=4解得：k=±， ……12

2yy1122222分

故所求直线方程为y2x1 ……132分

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22.（1）椭圆的一个焦点即为直线与x轴的交点

3,0，所以c3，

x23y21又离心率为2则a2,b1，所以椭圆方程为4； ……4分

（2）设椭圆的另一个焦点为

F1, 由已知得AFBFCFDF= ……8分

AFBF2aCF12aDF14a85x28tx4t240*l:yxt（3）联立直线与椭圆方程得,， ……10分

令8t4t40，得5t225设方程*的两根为x1,x2，

8t4t24则x1x2，x1x2， ……12分

552由弦长公式得，PQ425t，点O到直线l的距离

dt2， ……14分

5SOPQ12PQd251025t25t2t22t1t225tt52当且仅当， 即

2102或

t时取等号，而

t10t2或102满足5t5，

所以三角形OPQ面积的最大值为1. . …16分

23. （1）由已知得，4323cc2，c3，b22 ……2分 332y21 ……4分 故双曲线C的方程为：x2ykx+2（2-k2）x222kx40 y2(2)设点Px1,y1Qx2,y2联立方程 2 ，得

1x22因为 2-k0且0 解得，-2k2且k2 x1x222k4 ……6分 ，xx12222k2k

因为OPOQ2 所以x1x2+y1y22故（1+k2）x1x22kx1x20

422k2（1+k）2k0得k2或k<-2 ……8分解不等式

2-k22k2

综上得，-2k-2或2公众号“品数学”，一个提供数学解题研究，并且提供资料下载的公众号！

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设双曲线C上的点R(x0,y0)，设两渐近线的夹角为因为RMl1,RNl2

所以MRNRM,RN,且cosRM2x0y03,RN2x0y031……14分

3

22，又因为2x0y02 所以

2x02y02312 ……16分

39RMRN

2x0y032x0y03cos公众号“品数学”，一个提供数学解题研究，并且提供资料下载的公众号！