一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．（3分）9的算术平方根是（A．±3B．±9）C．3D．﹣3【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．【解答】解：9的算术平方根是3，故选：C．【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是熟练运用算术平方根的定义，本题属于基础题型．2．（3分）若＝，则ab＝（A．6B．）C．1D．【分析】直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案．【解答】解：∵＝，∴ab＝6．故选：A．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．3．（3分）计算：a（a+2）﹣2a＝（A．2B．a2）C．a2+2aD．a2﹣2a【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项得出答案．【解答】解：原式＝a2+2a﹣2a＝a2．故选：B．【点评】此题主要考查了单项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．（3分）若直线y＝kx（k是常数，k≠0）经过第一、第三象限，则k的值可为（A．﹣2B．﹣1C．﹣D．2）【分析】正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．【解答】解：∵直线y＝kx（k是常数，k≠0）经过第一、第三象限，第10页（共32页）∴k＞0．故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意得出k的取值范围是解答此题的关键．5．（3分）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长于点E，则∠DEC＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，根据等边三角形三线合一可得∠CBD＝30°，再根据作图可知BD＝ED，进一步可得∠DEC的度数．【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，∵BD是AC边上的高，∴BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝30°，∵BD＝ED，∴∠DEC＝∠CBD＝30°，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．6．（3分）方程＝A．x＝﹣2的解为（B．x＝2）C．x＝﹣4D．x＝4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x+2＝x，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解，第11页（共32页）故原方程的解是x＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是关键．7．（3分）如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH．若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为（）A．2B．4C．5D．6【分析】由折叠可知∠AGE＝∠BGE＝90°，AG＝BG，∠AFH＝∠DFH＝90°，AF＝DF，由同旁内角互补，两直线平行得AD∥GE⊥BC，AB∥FH∥CD，由平行线的性质可得FH⊥GE，GE＝BC＝4，FH＝AB＝2，OF＝OH，OG＝OE，再根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形可知四边形EFGH为菱形，最后利用菱形的面积公式计算即可求解．【解答】解：如图，设EG与FH交于点O，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，根据折叠的性质可得，∠AGE＝∠BGE＝90°，AG＝BG，∠AFH＝∠DFH＝90°，AF＝DF，∴AD∥GE⊥BC，AB∥FH∥CD，∴FH⊥GE，GE＝BC＝4，FH＝AB＝2，OF＝OH，OG＝OE，∴四边形EFGH为菱形，∴S菱形EFGH＝故选：B．第12页（共32页）＝＝4．【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、菱形的面积公式，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解题关键．8．（3分）据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约2200位数学家的《数学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下，下列结论错误的是（年龄范围（岁）90﹣9192﹣9394﹣9596﹣9798﹣99100﹣101人数（人）25■■1110m）A．该小组共统计了100名数学家的年龄B．统计表中m的值为5C．长寿数学家年龄在92﹣93岁的人数最多D．《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96﹣97岁的人数估计有110人【分析】根据统计表和扇形统计图给出的数据分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】解：A、该小组共统计的人数为：10÷10%＝100（人），故不符合题意；B、统计表中m的值为100×5%＝5（人），故不符合题意；C、长寿数学家年龄在92﹣93岁的人数为100×35%＝35，长寿数学家年龄在94﹣95岁的人数为100×14%＝14（人），所以长寿数学家年龄在92﹣93岁的人数最多，故不符合题意；第13页（共32页）D、《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96﹣97岁的人数估计有2200×（人），故符合题意．故选：D．＝242【点评】此题考查了统计表和用样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．9．（3分）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（）A．60°B．70°C．80°D．85°【分析】根据BM⊥CD，得∠CBM＝90°，所以∠ABE+∠FBM＝40°，再根据∠ABE＝∠FBM，得∠ABE＝∠FBM＝20°，即可得∠EBC＝20°+50°＝70°．【解答】解：如图，第14页（共32页）∵BM⊥CD，∴∠CBM＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠ABE+∠FBM＝180°﹣90°﹣50°＝40°，∵∠ABE＝∠FBM，∴∠ABE＝∠FBM＝20°，∴∠EBC＝20°+50°＝70°．故选：B．【点评】本题主要考查了垂线和角的计算，解题的关键是熟练掌握垂线的性质等知识．10．（3分）如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（）A．（4，2）B．（4，4）C．（4，2）D．（4，5）【分析】根据图2确定M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，然后求值即可．【解答】解：由题意可知，当点P在边AB上时，y的值先减小后增大，第15页（共32页）当点P在边BC上时，y的值逐渐减小，∴M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，∵AB＝4，EC＝ED＝AB＝×4＝2，∴BE＝∴M（4，2故选：C．【点评】本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图2确定M点的坐标与正方形的边之间的关系．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．11．（3分）因式分解：ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2．），＝＝2，【分析】直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式．【解答】解：ax2﹣2ax+a＝a（x2﹣2x+1）＝a（x﹣1）2．故答案为：a（x﹣1）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．12．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+4c＝0有两个不相等的实数根，则c＝不唯一）（写出一个满足条件的值）．0（答案【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝4﹣16c＞0，解之即可得出c的取值范围，任取其内的一个数即可．【解答】解：∵方程x2+2x+4c＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝22﹣16c＞0，解得：c＜．故答案为：0（答案不唯一）．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．13．（3分）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果．如由我国制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，第16页（共32页）填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“+9050米”，那么海平面以下10907米记作“10907米．﹣【分析】根据正数与负数的实际意义即可得出答案．【解答】解：∵海平面以上9050米记作“+9050米”，∴海平面以下10907米记作“﹣10907米”，故答案为：﹣10907米．【点评】本题考查正数与负数的实际意义，正数和负数是一对具有相反意义的量，此为基础知识点，必须熟练掌握．14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝35°．【分析】根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠D＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝35°，故答案为：35．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：熟练掌握三角形的外心的定义与性质．也考查了圆周角定理．15．（3分）如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6cm，则EF＝2．cm．第17页（共32页）【分析】连接BD交AC于O，则AO＝CO，BO＝OD根据菱形的性质得到AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，AC⊥BD，求得BD＝AB＝6cm，根据勾股定理得到AC＝2AO＝2×论．【解答】解：连接BD交AC于O，则AO＝CO，BO＝OD∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，AC⊥BD，∵∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA＝30°，∴BD＝AB＝6cm，∴AO＝∴AC＝2AO＝6＝3（cm），（cm），＝6（cm），求得AE＝CF，根据三角函数的定义即可得到结∵BE⊥AB，DF⊥CD，∴∠CDF＝∠ABE＝90°，∴△CDF≌△ABE（ASA），∴AE＝CF，∵AE＝CF＝（cm），∴EF＝AE+CF﹣AC＝2故答案为：2．（cm），第18页（共32页）【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．16．（3分）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是5π米．（结果保留π）【分析】根据弧长公式直接代入数值求解．【解答】解：故答案为：5π．【点评】本题主要考查了学生对弧长公式的掌握情况，难度不大，认真计算即可．三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（4分）计算：÷×2﹣6．＝（米）．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案．第19页（共32页）【解答】解：原式＝3＝12＝6﹣6．××2﹣6【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．（4分）解不等式组：．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由x＞﹣6﹣2x得：x＞﹣2，由x≤得：x≤1，则不等式组的解集为﹣2＜x≤1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．（4分）化简：﹣÷．【分析】根据分式的混合运算法则，先算乘除再算加减，进而得出答案．【解答】解：原式＝＝＝﹣．﹣•【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．20．（6分）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：如图，已知⊙O，A是⊙O上一点，只用圆规将⊙O的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在⊙O上逆时针方向顺次截取②分别以点A，点D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于⊙O上方点E；③以点A为圆心，OE长为半径作弧交⊙O于G，H两点．即点A，G，D，H将⊙O的第20页（共32页）＝＝；圆周四等分．【分析】根据题中的步骤作图．【解答】解：如图：点G、D、H即为所求．【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握圆心角、弧及弦的关系是解题的关键、．21．（6分）为传承红色文化，激发精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：A．南梁精神红色记忆之旅（华池县）；B．长征会师胜利之旅（会宁县）；C．西路军红色征程之旅（高台县），且每人只能选择一条线路．小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片．（1）求小亮从中随机抽到卡片A的概率；（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片C的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小亮和小刚两人都抽到卡片C的结果有1种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）小亮从中随机抽到卡片A的概率为；（2）画树状图如下：第21页（共32页）共有9种等可能的结果，其中小亮和小刚两人都抽到卡片C的结果有1种，∴两人都抽到卡片C的概率是．【点评】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（8分）如图1，某人的一器官后面A了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：课题工具示意图医疗仪器等检测新生物到皮肤的距离说如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检明测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN．测量数据∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm第22页（共32页）请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【分析】过点A作AF⊥MN，垂足为F，设BF＝xcm，则CF＝（x+9）cm，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：过点A作AF⊥MN，垂足为F，设BF＝xcm，∵BC＝9cm，∴CF＝BC+BF＝（x+9）cm，在Rt△ABF中，∠ABF＝∠DBN＝35°，∴AF＝BF•tan35°≈0.7x（cm），在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ECN＝22°，∴AF＝CF•tan22°≈0.4（x+9）cm，∴0.7x＝0.4（x+9），解得：x＝12，∴AF＝0.7x＝8.4（cm），∴新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．23．（7分）某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用x表示，分成6个等级：A．x＜10；B．10≤x＜15；C．15≤x＜20；D．20≤x＜25；E．25≤x＜30；F．30≤x≤35）．下面给出了部第23页（共32页）分信息：a．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如图：b．八年级学生上学期期末地理成绩在C．15≤x＜20这一组的成绩是：15，15，15，15，15，16，16，16，18，18；c．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：学期八年级上学期八年级下学期平均数17.718.2众数1519中位数m18.5根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m＝16；35（2）若x≥25为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有人；（3）你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．【分析】（1）根据中位数的定义可得m的值；（2）用200乘样本中下学期期末地理成绩达到优秀的学生所占比例即可；（3）比较平均数、众数和中位数可得答案．【解答】解：（1）把八年级上学期40名学生的地理成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为16，16，故中位数m＝故答案为：16；（2）200×＝35（人），＝16．即这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有35人．故答案为：35；第24页（共32页）（3）该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有提高，理由如下：因为该校八年级学生的期末地理成绩下学期的平均数、众数和中位数均比上学期大，所以该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有提高．【点评】本题考查条形统计图，样本估计总体的思想，中位数，众数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（7分）如图，一次函数y＝mx+n的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，a）．（1）求点B的坐标；（2）用m的代数式表示n；（3）当△OAB的面积为9时，求一次函数y＝mx+n的表达式．【分析】（1）由反比例函数的解析式即可求得的B的坐标；（2）把B（3，2）代入y＝mx+n即可求得用m的代数式表示n的式子；（3）利用三角形面积求得n的值，进一步求得m的值．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点B（3，a），∴a＝＝2，∴点B的坐标为（3，2）；（2）∵一次函数y＝mx+n的图象过点B，∴2＝3m+n，∴n＝2﹣3m；（3）∵△OAB的面积为9，∴，∴n＝6，第25页（共32页）∴A（0，﹣6），∴﹣6＝2﹣3m，∴m＝，∴一次函数的表达式是y＝x﹣6．【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知函数图象上点的坐标特征满足解析式是解题的关键．25．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为E，AB与CD相交于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）当⊙O的半径为5，sinB＝时，求CE的长．【分析】（1）根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明；（2）根据三角函数的意义及勾股定理求解．【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，∴∠E＝90°，∵CO平分∠BCD，∴∠OCB＝∠OCD，∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO＝∠D，∴∠D＝∠OCD，∴OC∥DE，∴∠OCE＝∠E＝90°，∵OC是圆的半径，第26页（共32页）∴CE是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵sinB＝∴AC＝6，∵∠OCE＝∠ACO+∠OCB＝∠ACO+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠OCB＝∠B，∴sin∠ACE＝sinB＝解得：AE＝3.6，∴CE＝＝4.8．＝，＝，【点评】本题考查了切线的判定和性质，掌握三角函数的意义及勾股定理是解题的关键．26．（8分）【模型建立】（1）如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．①求证：AE＝CD；②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；【模型应用】（2）如图2，△ABC是直角三角形，AB＝AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；【模型迁移】（3）在（2）的条件下，若AD＝4，BD＝3CD，求cos∠AFB的值．【分析】（1）①根据△ABC和△BDE都是等边三角形推出判定△ABE和△CBD全等，然后根据全等三角形的对应边相等即可得证；②根据等边三角形的性质和对称的性质即可推出线段AD，BD，DF的数量关系；第27页（共32页）（2）过点B作BE⊥AD于E，根据等腰直角三角形的性质推出判定△ABE∽△CBD，然后根据等腰直角三角形的性质和对称性即可推出线段AD，BD，DF的数量关系；（3）过点A作AG⊥BD于G，推出△ADG是等腰直角三角形，求出AG、FG、AF的长后即可求出cos∠AFB的值．【解答】（1）证明：①∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝60°，∴∠ABE＝∠CBD，∴△ABE≌△CBD，∴AE＝CD；②解：AD＝BD+DF．理由如下：∵△BDE是等边三角形，∴BD＝DE，∵点C与点F关于AD对称，∴CD＝DF，∵AD＝AE+DE，∴AD＝BD+DF；（2）BD+DF＝理由如下：如图1，过点B作BE⊥AD于E，AD．∵点C与点F关于AD对称，∴∠ADC＝∠ADB，又∵CD⊥BD，∴∠ADC＝∠ADB＝45°，第28页（共32页）又∵BE⊥AD，∴△BDE是等腰直角三角形，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴，∠ABC＝∠EBD＝45°，∴∠ABE＝∠CBD，∴△ABE∽△CBD，∴∴DF＝，CD＝DF，AE，∵△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝∴BD+DF＝即：BD+DF＝AD．，，（3）解：如图2，过点A作AG⊥BD于G，又∵∠ADB＝45°，∴△AGD是等腰直角三角形，又∵AD＝4，AD＝8，∴AG＝DG＝4，BD+DF＝∵BD＝3CD，CD＝DF，∴DF＝2，又∵DG＝4，∴FG＝DG﹣DF＝2，在Rt△AFG中，由勾股定理得：，第29页（共32页）∴cos∠AFB＝．【点评】本题是几何变换综合题，主要考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，深入理解题意是解决问题的关键．27．（10分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx与x轴交于点A，与直线y＝﹣x交于点B（4，﹣4），点C（0，﹣4）在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx的表达式；（2）当BP＝2时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说明理由；（3）如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．【分析】（1）利用待定系数法将B点坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx中，即可求解．（2）作辅助线，根据题意，求出PD的长，PD＝OC，PD∥OC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证．（3）作出图，证明△CBP≌△MOQ（SAS），CP+BQ的最小值为MB，根据勾股定理求出MB即可解答．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx过点B（4，﹣4），∴﹣16﹣4b＝﹣4，∴b＝3，∴y＝﹣x2+3x．答：抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x．第30页（共32页）（2）四边形OCPD是平行四边形，理由如下：如图1，作PD⊥OA交x轴于点H，连接PC、OD，∵点P在y＝﹣x上，∴OH＝PH，∠POH＝45°，连接BC，∵OC＝BC＝4，∴∴∴∴．，，，当xD＝2时，DH＝yD＝﹣4+3×2＝2，∴PD＝DH+PH＝2+2＝4，∵C（0，﹣4），∴OC＝4，∴PD＝OC，∵OC⊥x轴，PD⊥x轴，∴PD∥OC，∴四边形OCPD是平行四边形．（3）如图2，由题意得，BP＝OQ，连接BC，第31页（共32页）在OA上方作△OMQ，使得∠MOQ＝45°，OM＝BC，∵OC＝BC＝4，BC⊥OC，∴∠CBP＝45°，∴∠CBP＝∠MOQ，∵BP＝OQ，∠CBP＝∠MOQ，BC＝OM，∴△CBP≌△MOQ（SAS），∴CP＝MQ，∴CP+BQ＝MQ+BQ≥MB（当M，Q，B三点共线时最短），∴CP+BQ的最小值为MB，∵∠MOB＝∠MOQ+∠BOQ＝45°+45°＝90°，∴即CP+BQ的最小值为4答：CP+BQ的最小值为4．．，【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．第32页（共32页）
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