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ＣＮＣ系统中三种插补算法与选择原则　山东太学控制科学与工程学ｇ，ｔ（２５００６１）　杨　华　白雷石　摘要：为解决复杂曲线曲面的加工问题．给出　ＣＮＣ系统中三种插补算法，直线和圆弧插补、三次Ｂ　＝３Ｒ　３△““　＋（３Ｒ　３Ａ“。＋２Ｒ２△　）＂　＋（Ｒ３△“　＋Ｒ２Ａ＂　＋Ｒ】Ａ＂）　（２）　样条曲线插补、ＮＵＲＢＳ曲线插补，并分析其插补原　理，进一步从加Ｉ精度、插补速度、程序编制等各方面　予以分析与比较，讨论ｊ插补算法选择与设计原ｊ【ｌｉ　由式（２）可得：　△　Ｐ（“）：△Ｐ（“＋△＂）一△Ｐ（＂）　＝６Ｒ　３△“　＂＋６Ｒ　３△“　＋２Ｒ　２△Ｈ　（３）　关键词：插补算法曲线　三次Ｂ样条曲线　ＮＵＲＢＳ　由式（３）可得：　△３Ｐ（“）＝Ａ　Ｐ（＂＋Ａ＂）一△　Ｐ（“）　＝６Ｒ　Ａ“　（４）　插补算法是数控系统开发中要解决的首要问题，　是实现复杂几何元素数控加工和开发现代化数控系统　的前提。插补的任务是在一条已知起点和终点的曲线　进行数据点的密化。插补算法是数控系统的核心技　术，为提高数控系统和数控机床的性能，精度的新插补　算法一直是多年来国内外科技人员努力突破的难点。　令蜥＝　Ａ“，Ｐ　＝Ｐ（“　）则式（２）～式（４）可改写　为如下递推形式：　Ｐ　十１＝Ｐ　＋△Ｐ。　△Ｐｆ　△Ｐｔ—ｌ＋△　Ｐ　一１　△　Ｐｌ－ｌ：△　Ｐｔ一２＋△　Ｐ　一２　在复杂加工的问题研究中，研究人员一般采两种途径，　一△　Ｐ。一２＝６Ｒ　３△“　（５）　是用直线和圆弧来通近曲线，另一种是寻求复杂曲　式（５）即为三次Ｂ样条实时插补时的递推公式。　线的直接插补算法，如三次Ｂ样条插补，ＮＵＲＢＳ插补　等。　一其中，插值计算的初始条件为：　Ｐ０＝Ｒ　０　、线和圆弧插补　Ａｐ０＝Ｒ　３Ａ“　＋Ｒ２△“　＋Ｒｔ△“　△　Ｐｏ＝６Ｒ　△　△　Ｐ０＝６Ｒ　３△“　＋２Ｒ２Ａ“　机床数控中使用逐点比较法来实现直线和圆弧的　插补极为普遍。该方法思路清晰，原理较为简单，即计　算机在控制加工过程中能连点地计算和判别偏差，井　根据偏差来控制进给，最终按样图的工艺过程、参数、　几何尺寸等加工出符合要求的零件。　但在机械加工中，尤其是在航空航天工业零件的　加工中，经常遇到复杂气动外形型面的零件。其特性　难以用解析曲线插补给出，而要用列表曲线给出。如　率算法为获得高的插补速度，维持步长参数ｕ的　增量ＡＩＩ不变，计算每个周期内的进给量，通过合理选　择△Ｕ，保证插补的理论精度和实际进给速率符合加工　要求由于在插补时没有乘除法运算，只有加法运算，因　而算法具有高速性。　基于参数方程的矢量表示方法，导出ＣＮＣ系统中　三次Ｂ样条曲线的一种高速插补算法。该种算法不　仅理论上可使所有插补点落在曲线上，而且，由于实时　插补过程中只有加法运算，因而插补速度极高，基率上　果是使用懈析曲线插补功能，则这类零件的程序加工　和编制要离线在计算机上进行曲线拟合、擂值，然后编　制微小程序段逼近　这不仅导致编程复杂，代码量大，　效率低，而且加工精度降低，进给速度受限，很难满足　机械加工要求。基于此类问题提出了复杂曲线的直接　插补算法，如Ｂ样条曲线、ＮＵＲＢＳ曲线插补算法等。　适用于任何硬件环境。只要选择合理的参数增量，总　能保证插补误差，满足加工精度要求，控制机床的实际　二、三次Ｂ样条的插补算法　通常，三次Ｂ样条曲线可用下列方程表示：　Ｐ（Ｈ）＝Ｒ　“　＋Ｒ２＂　＋Ｒ１　Ｍ＋Ｒ　０　（１）　运动速度满足缩程要求。　三、ＮＵＲＢＳ曲线插补算法　Ｂ样条方法在表示与设计自由曲线时显示了强大　的威力，然而在表示与设计二次出线与曲面时却遇到　了麻烦。ＮＵ２ｑ．ＢＳ被提出的重要理由是为了找到与描　式中，ｕ∈［０，１］为无量纲参数，Ｒｉ为常矢量，假定　为三维的，其中，　３），ＲＩ＝　Ｒ　＝（Ｒ　３ｌ，Ｒ　３２，Ｒ　３３），Ｒ　２：（Ｒ：¨ＲｚｚＲ２．述自由型曲线曲面Ｂ样条方法耩统一的叉能精确表　示二次曲线的数学方法。ＮＵＲＢＳ胃如下定义：一条　Ｋ次ＮＵＲＢＳ曲线可以表示为：　、　（ＲＩ］，Ｒ１２，Ｒ１３）　由式（１）可得：　Ａｐ（“１：Ｐ（“＋Ａ“）一Ｐ（＂）　・Ｒ　＾　Ｐ（“）　磊　Ⅲ（“）／磊ｏ￣ｉＢｉ，＾（”）　、、（６）　（上海机束）　】（）・　维普资讯 http://www.cqvip.com

其中，　（ｉ＝０，１，…ｎ）称为权固子，分别与控制顶　点ｄ　（ｉ：０，１，…ｎ）相联系。首束权因子￣ｏｏ＞０，∞　＞Ｏ，　其余　；≥０。　ＮＵＲＢＳ曲线将两端点的重复度取为Ｋ＋１，即“０：“。　＝…：　，“ｎ＋１＝“　＋２；…：“ｎ＋＾十１。　由上可推出△　△。＝（“　＋　一“　），△　＝（　＋２～　基函数的递推公式为：　＝嘶），△　（　＋３一嘶），依次类推，特别地，△。＝０。对　｛　１　，．・一　（　）＋：　：：　Ｂ　＋ｔ．　（ｎ）（７）　于节点列Ｕ，生成Ｄｕ＝｝△ｏ，△１，△２，△　｛，对于Ｕ∈　［ｕ；，ｕ　＋Ｉ］，令　矩阵形式如下：　＝　ｔ＋Ｌ一“ｉ　Ｂ“　（”）　：　生则ｔ∈［０，１］，写成　ｉ　，一　节点列Ｕ＝［ｕ０，…ｕｉ，…　＋ｋ＋　１１对于非周期　札　Ｐ　（ｔ）＝　一（１，ｔ，ｔ２，ｔ３）　ｆ　”ｉｊ　Ｌ脚　＋｜ｊ　其中，　ｒｍ１１　ｌ２　ｍ１３　１　（０　ｔ　１，　０，１，…ｎ一３）　（８）　舰：Ｊ　ｌ　ｍ　３１　ｍ孔’　，，ｌ”　Ｌｍ●ｌ　ｍ艟　，，ｌ蛆　（△　２）　一　△　．Ｉ△　．２　△　—ｌ亳一△　一２△　爱　　．１△　．２　△　（．Ａｉ△　Ｄ　．２　。　３Ａ　ｉＺｋｉ　－Ｉ　３Ａ　ｉＡ　ｉ－ｉ　３（ｍｉｔ－－ｒｇｔ２３　３（ｍ　ｒ１＋ｍ”　。　。　（９）　一，ｍ”一　”一　“　△：　、　（△　）　－ｉ＿　Ｄ＇Ｚ４４　４＂　２　３　．　为躲决插补速度，我们使用如下算法。假设对于　给定的一条自由曲线，其中ｎ＋１个控制顶点已确定。　采用三次ＮＩｍＢｓ曲线进行擂补。对（８）式进行如右　处理：　４（　）＝ｍ儿＋，，ｌ　２１ｔ＋ｍ　３ｌｔ　＋，，１．１　ｂ（ｔ）＝ｍｌ２＋ｍ　２２　＋ｍ　３２ｔ　＋　４２ｔ　ｃ（　）＝　１３＋ｍ　２３ｔ＋ｍ孙ｔ　＋ｍ４３　ｅ（　）　“ｔ　则有　＝　舞　等　普　ｃ　ｍ３１∞　ｌ　ｍ３２∞【＋ｌｄ【＋１　ｍ　３３￣ｏｉ￣２ｄ‘＋２＋　“韶　（１０）　为提高插朴速度。将控制点、权日子同插补变量分　离，对（１Ｏ）式重新整理：　口＝优ｎ　１２　＋１ｄｉ＋ｌ　ｍ１３∞，＋２ｄｔ＋２＋ｍ１４ｏａｉ＋３　＋　ｂ：ｆ￣２１ｔｏ矗＋优２２∞，　１　＋ｌ＋￣＇ｇ２３ｏＪｔ＋２ｄｉ＋２＋ｍ２４ｏａｉ＋３ｄｉ￣－３　＋３ｄｉ　３　・２　ｉ＋ｌ　【＋ｌ　坼・３　＋２ｄｌ＋２＋拼“嘶＋３　＋，　２００２年第１期　・１１・　维普资讯 http://www.cqvip.com

口１　１ｌ∞Ｊ＋ｍ　∞Ｊ＋１＋研１３　＋２＋　ｌｄ￣ｉ＋３　２●ｃｏＪ＋　条件，因而也就产生了许多复杂曲线的直接插补算法．　如Ｂ样条曲线、ＮＵＲＢＳ曲线的插补算法等。　６Ｉ　研２　ｃ　十　２２　＋１十研２３　【＋２＋　ｃ１＝　１　３１￣ｏｉ十　４１￣ｏｉ十　３２ｗ（＋　十￣３３￣ｏｉ＋２十　‘２　ｌ＋：＋　∞ｌ＋３　插补算法不但影响到数控机床的加工精度、加工　效率，更重要的是它影响到数控机床的编程方式和编　程散率，以及数控机床的操作等许多方面。一个高效　合理的插补法和据此设计的数控编程指令，能大大简　化零件数控加工程序的编制。例如，如果一个系统有　渐开线直接插补功能，就没有必要再用直线和圆弧来　４３０．￣Ｊ　２十　４４∞【＋３　于　“）＝　１十Ｄ，：＋ｆ１　ｔ　＋　．　ｔ…）　由于控制顶点及权目子均已知，则ａ、ｂ、ｃ、ｅ、ａ　、　ｂ１、Ｃ　、ｅ　与参数无关，可在插补计算之前直接算　描　补时只需计算插朴变化量Ｚ３．ｔ，从而大大加快了计算速　逼近渐开线，从而大大缩短零件加工程序。园此，在设　计数控系统，特别是专机数控系统时，插补算法的选择　和设计应通盘考虑，即要从插补精度、插补速度、编程　指令的设计、手工编程是否方便，以及是否易于实现宦　动编程等各方面来设计插补算法。根据以上对于三种　插朴算法的原理分析及比较，在此给出以下插补算法　的选择和设计原则：　度。然而，ＮＵＲＥＳ曲线插补有其宦身的缺点，特别是　权因子与参数化问题还未完全锯决，权目子的不合适　使用可能导致整个曲线曲面的破坏，而有些技术用传　统形式比用ＮＵＲＢＳ工作的好等。　四、插补算法的选择和设计原则　（１）插补算法必须满足加工精度和插补速度的要　求。　在早期的硬件数控时期，插补算法是由数控系统　的硬件逻辑实现的。随着插补算法复杂程度的提高，　其硬件逻辑实现的成本和难度急剧上升，目此当时的　算法仅是简单的直线和圆弧插补。后来，随着计算机　（２）插补算法要有利于数控编程指令系统的设计．　并能简化数控编程。　（３）尽可毹实现零件几何元素的直接插补。　技术的发展，出现了主要由软件实现控制逻辑的计算　机数控系统（ＣＮＣ）。由于早期ＣＮＣ系统中ＣＦＵ计算　能力和计算速度的影响，任何插补算法只能用ＣＰＵ的　加减乘除指令来实现。　（４）有利于实现刀具半径补偿等刀具补偿要求。　五、结论　本文从数控系统中基本的直线和圆弧播补算法，　到目前正在发展中的直接插补算法予以讨论，并进一　步给出插补算法的选择和设计原则。对于这些插补算　法的研究，必将对数控技术的发展和应用产生极大的　促进作用。可以预言，随着各种高级插补技术如　ＮＵＲＢＳ曲线直接插补技术的成熟和在工程中的应　用，将给数控编程技术和ＣＡＤ、ＣＡＭ、ＣＮＣ等技术带　来根本性的变革。　随着计算机技术和微电子技术的飞速发展，计算　机的计算能力和计算技术得到很大提高，特别是由于　数学协处理器用于集成ＣＰＵ，使得复杂的数学运算得　以直接高速的进行，如三角函数、指数、对数、开方等。　插补算法的研究与实现也不再受加减乘除指令的影响　与限制，这为新的插科算法的研究创造了难得的技术　上接第８页）　在一组质量特性值的实测数据的分布中心与理论　中心不重合时机器能力指数也以ｃ　表示，相应的计　算方法同上一节所介绍的完全相同。　表３抽样数量减少时的能力指数　样乖太小　５０　４０　２　２　０４　机器能力指数ｃ　Ｃ　１　６７　１．７０　｛　ｌ　１．５０　１　５３　１　３３　ｌ＋３６　在进行机器能力指数（过程能力指数亦然）评定　时，若样本数量减少，根据数理筑计原理，此时的　（ｃ　）值将相应放大，以确保被判定的专用机床处于相　当的能力水平。最３对此作出了规定。　３０　２５　２０　２　ｌ０　２．ｔＳ　２．２１　１．７５　１　８ｌ　１．８８　ｌ　ｌ　Ｉ　ｌ　５７　１　６１　１　６６　１　４０　１　４３　１　４７　（上海机床》