新教材立体解读高中数学第一册：充分条件与必要条件【附答案及解析】

新教材立体解读高中数学第一册：充分条件与必要条件【附答案及解

析】

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高一新教材同步教材立体解读数学第一册 1.4充分条件与必要条件

考点1 充分条件

一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q,记作 ,则p是q的

1.下列 “若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的有 .（1）若x1,则x2；

（2）若两个三角形的三边成比例,则这两个三角形相似；（3）若x1,则x1；

（4）若ab0, 则a0,b0.

考点2 必要条件

一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q,则q是p的

1.下列 “若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的有 .

（1）若x,y是偶数,则xy是偶数； （2）若a2,则方程x22xa0有实根； （3）若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形.考点3 充要条件

（1）如果 “若p,则q”和它的逆命题 “若q,则p”均是真命题,即既有pq ,又有qp,就记作

,此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的 ,简称为

1．若aR,则“a2”是“|a|2”的（ ） A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

2

C．充要条件

2.设A,B,U是三个集合,且A．充分不必要条件 C．充要条件

D．既不充分又不必要条件 “

”是“

”的（ ）

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

考点1 充分条件

例1下列 “若p,则q”形式的命题中,那些命题中p是q的充分条件

（1）若xy1,则x1或y1； （2）a,bR,若ab0,则“a2b20. 分析：分析由p能否推出q.

解：（1）若xy1,则则x1或y1成立,pq；p是q的充分条件；（2）取a1,b0,则

ab0成立,a2b20,由p不能推出q,p不是q的充分条件.

1.p是q的充分条件,是指由条件p可以推出结论q,但这并不意味着只能由这

个条件p才能推出结论q．一般来说,对给定结论q,使得q成立的条件p是不唯一的；

2. 写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)},若A⊆B,则p是q的充分条件；若AB,则p是q的充分不必要条件；

3.注意下面两种叙述方式的区别：（1）p是q的充分条件,即pq ；（2）p的充分条件是q,即qp.

1.已知m,nR,则“

m10”是“mn0”成立的（ ） nA．充分不必要条件 B．必要不充分条件

3

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2.设:1≤x4；:xm,若是的充分条件,则实数m的取值范围是__________． 考点2必要条件

例2 （1）已知x,yR,则“xy1”是“xA．充分且不必要条件 C．充分且必要条件 （2）命题p:A．a0

11且y”的（ ）

22

B．必要且不充分条件 D．不充分也不必要条件

11,命题q:xa,若命题p的必要不充分条件是q,则a的取值范围为（ ） xB．a0 C．a0 D．a0

分析：（1）将两个条件相互推导,根据推导的情况判断充分、必要性；（2）由命题p的必要不充分条件是q得出{x|0a}的真子集

1111且y”.当“x且y”时,222211根据不等式的性质有“xy1”.故“xy1”是“x且y”的必要且不充分条件.故选B.

221（2）由题p:10x1,若命题p的必要不充分条件是q,则a0,故选B

x解析：（1）当“xy1”,如x4,y1,xy1,但没有“x 1. 若p是q的充分条件,则q是p的必要条件

2. 判断 “若p,则q”形式的命题中q是否p的必要条件,只需判断是否 有 “pq”,即 “若p,则q”是否为真

3.写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)},利用集合之间的包含关系加以判断： ①若B⊆A,则p是q的必要条件； ②若BA,则p是q的必要不充分条件

3.．已知x,yR,则“x1或y1”是“xy2”的（ ） A．充要条件 充分也非必要条件

4

B．必要非充分条件

C．充分非必要条件

D．既非

4.命题“x2x20”是命题“x1”的______条件.

5.若“x2”是“xm”的必要不充分条件,则m的取值范围是_______． 考点3充要条件

例3（1）已知集合A＝{x|a－2是两个集合,则“

”是“

”的________条件(填“充分不必要”“必要不充

分”“充要”或“既不充分也不必要”)． 分析：（1）由A∩B＝∅,可得进行判定即可得到结论． 解析：（1）A∩B＝∅⇔（2）当所以“

时,则有”是“ 1. 充要条件的两种判断方法： (1)定义法：根据p⇒q,q⇒p进行判断；

(2)集合法：根据由p,q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；

2.求解充要条件的应用问题时,一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．求解参数的取值范围时,一定要注意对区间端点值进行检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现错误．

,解不等式即可得解；（2）根据充分必要条件的定义

⇔0≤a≤2. ；反之,当

时,则有

．

”的充分必要条件．故答案为：充要．

6. 若a0,b0,则“ab4”是 “ab4”的（ ） A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5

7.设,则“”是“”的______条件选填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充

分也不必要”之一 8.方程

有两个不相等的负实数根的充要条件是__________.

9.已知p是r的充分条件,而r是q的必要条件,同时又是s的充分条件,q是s的必要条件,试判断：

（1）s是p的什么条件？

（2）p是q的什么条件？

（3）其中有哪儿对条件互为充要条件？

一、选择题

1.“x24”是“x2”成立的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2.设xR,则“x1”是“x1”的( ) A．充分而不必要条件 C．充要条件 3．设a,bR,则“

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

a1”是“ab0”的（ ） bA．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4.对于实数x,y,若p:x2或y1,q:xy3,则p是q的（ ）

6

A．充分不必要条件 不必要条件

5.若a、b不全为0,必须且只需( ) A．ab0

C．a、b中只有一个为0

B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也

B．a、b中至多有一个不为0 D．a、b中至少有一个不为0

6．设xR,则“x2”是“x4”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

7.设xR,则“0x3”是“x12” 的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 二、填空题

8．“x12”是“x3”的____条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要条件”、“充要”中选择填空）．

9．若“x3”是“xm”的必要不充分条件,则m的取值范围是________．

10．已知p:0x1, q:xk,若p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是________. 11．若x1,m是不等式2x2x30成立的充分不必要条件,则实数m的范围是________. 12．设a,b∈R,则“a＞b”是“ab”的_____条件(填充分不必要,必要不充分等）

13．已知A⊆B,则“x∈A”是“x∈B”的________条件,“x∈B”是“x∈A”的________条件．(填“充分”或“必要”)

14．“ab>0”是“a>0,b>0”的________条件(填“充分”或“必要”)． 15．若

是

的充分不必要条件,则实数的取值范围为_________

7

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

16．已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,则s是q的________条件,r是q的________条件,p是s的________条件． 三、解答题

x2xy4 q:,p是q的什么条件？并说明理由． 17．．p:xy4； y2

18.已知p, q都是r的必要条件, s是r的充分条件, q是s的充分条件, 那么： (1)s是q的什么条件？ (2)p是q的什么条件？

19．已知p：x＜﹣2或x＞10；q：1﹣m≤x≤1+m2；¬p是q的充分而不必要条件,求实数m的取值范围．

高一新教材同步教材立体解读数学第一册 1.4充分条件与必要条件

考点1 充分条件

一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q,记作 ,则p是q的

1.下列 “若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的有 . （1）若x1,则x2；

（2）若两个三角形的三边成比例,则这两个三角形相似； （3）若x1,则x1； （4）若ab0, 则a0,b0.

8

考点2 必要条件

一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q,则q是p的

1.下列 “若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的有 .

（1）若x,y是偶数,则xy是偶数； （2）若a2,则方程x22xa0有实根； （3）若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形. 考点3 充要条件

（1）如果 “若p,则q”和它的逆命题 “若q,则p”均是真命题,即既有pq ,又有qp,就记作

,此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的 ,简称为

1．若aR,则“a2”是“|a|2”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充要条件

2.设A,B,U是三个集合,且A．充分不必要条件 C．充要条件

答案

B．必要而不充分条件 D．既不充分又不必要条件 “

”是“

”的（ ）

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

考点1pq,充分条件

对点快练 1. （1）（2）（3）【解析】对于（1）,因为12,所以pq；对于（2）pq；对于

（3）,x1x1,x1,所以pq；对于（4）,ab1时ab0, 但a0,b0不成立.

考点2 必要

对点快练 1.（2）（3）【解析】对于（1）,当xy1时xy是偶数,但x,y不是偶数；对于（2）,当方程x22xa0有实根时24a0,即a1,此时a2成立；对于（3） 四边形是菱形,则

对角线互相垂直,所以qp. 考点3 pq 充分必要条件 充要条件

29

对点快练 1.A【解析】若a2,显然|a|2；若|a|2,则a2,所以“a2”是“|a|2”的充分而不必要条件,故选A. 2.C【解析】因为故选C．

考点1 充分条件

例1下列 “若p,则q”形式的命题中,那些命题中p是q的充分条件

（1）若xy1,则x1或y1； （2）a,bR,若ab0,则“a2b20. 分析：分析由p能否推出q.

解：（1）若xy1,则则x1或y1成立,pq；p是q的充分条件；（2）取a1,b0,则

,所以

是

的充要条件,

ab0成立,a2b20,由p不能推出q,p不是q的充分条件.

1.p是q的充分条件,是指由条件p可以推出结论q,但这并不意味着只能由这

个条件p才能推出结论q．一般来说,对给定结论q,使得q成立的条件p是不唯一的；

2. 写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)},若A⊆B,则p是q的充分条件；若AB,则p是q的充分不必要条件；

3.注意下面两种叙述方式的区别：（1）p是q的充分条件,即pq ；（2）p的充分条件是q,即qp.

1.已知m,nR,则“

m10”是“mn0”成立的（ ） nA．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2.设:1≤x4；:xm,若是的充分条件,则实数m的取值范围是__________． 考点2必要条件

10

例2 （1）已知x,yR,则“xy1”是“xA．充分且不必要条件 C．充分且必要条件 （2）命题p:A．a0

11且y”的（ ）

22B．必要且不充分条件 D．不充分也不必要条件

11,命题q:xa,若命题p的必要不充分条件是q,则a的取值范围为（ ） xB．a0 C．a0 D．a0

分析：（1）将两个条件相互推导,根据推导的情况判断充分、必要性；（2）由命题p的必要不充分条件是q得出{x|0a}的真子集

解析：（1）当“xy1”,如x4,y1,xy1,但没有“x根据不等式的性质有“xy1”.故“xy1”是“x（2）由题p:1111且y”.当“x且y”时,222211且y”的必要且不充分条件.故选B. 22110x1,若命题p的必要不充分条件是q,则a0,故选B x 3. 若p是q的充分条件,则q是p的必要条件

4. 判断 “若p,则q”形式的命题中q是否p的必要条件,只需判断是否

有 “pq”,即 “若p,则q”是否为真

3.写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)},利用集合之间的包含关系加以判断： ①若B⊆A,则p是q的必要条件； ②若BA,则p是q的必要不充分条件

3.．已知x,yR,则“x1或y1”是“xy2”的（ ） A．充要条件 充分也非必要条件

4.命题“x2x20”是命题“x1”的______条件.

5.若“x2”是“xm”的必要不充分条件,则m的取值范围是_______． 考点3充要条件

例3（1）已知集合A＝{x|a－2B．必要非充分条件

C．充分非必要条件

D．既非

11

（2）设是两个集合,则“”是“”的________条件(填“充分不必要”“必要不充

分”“充要”或“既不充分也不必要”)． 分析：（1）由A∩B＝∅,可得进行判定即可得到结论． 解析：（1）A∩B＝∅⇔（2）当所以“

时,则有”是“ 1. 充要条件的两种判断方法： (1)定义法：根据p⇒q,q⇒p进行判断；

(2)集合法：根据由p,q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；

2.求解充要条件的应用问题时,一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．求解参数的取值范围时,一定要注意对区间端点值进行检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现错误．

,解不等式即可得解；（2）根据充分必要条件的定义

⇔0≤a≤2. ；反之,当

时,则有

．

”的充分必要条件．故答案为：充要．

6. 若a0,b0,则“ab4”是 “ab4”的（ ） A．充分不必要条件 C．充分必要条件 7.设

,则“

”是“

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

”的______条件选填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充

分也不必要”之一 8.方程

有两个不相等的负实数根的充要条件是__________.

9.已知p是r的充分条件,而r是q的必要条件,同时又是s的充分条件,q是s的必要条件,试判断：

（1）s是p的什么条件？

12

（2）p是q的什么条件？

（3）其中有哪儿对条件互为充要条件？ 1.A【解析】由

mnmm10可知,而由“mn0”得mn；故“10”的范围是nnn0“mn0”范围的真子集,所以是充分不必要条件.

2.m≥4【解析】令Ax|1≤x4,Bx|xm,因为是的充分条件,则AB, ∴m≥4．故答案为m≥4 3.B【解析】若x33,y0,则xy2,可知“x1或y1”是“xy2”的非充分条件； 22若xy2,则x1或y1的逆否命题为：若x1且y1,则xy2；可知其逆否命题为真命题,则原命题为真；则“x1或y1”是“xy2”的必要条件；则“x1或y1”是“xy2”的必要非充分条件,故选B.

4.必要不充分【解析】x2x20的解为x1或x2,所以当“x2x20”成立时,则“x1”未必成立；若“x1”,则“x2x20”成立,故命题“x2x20”是命题“x1”的必要不充分条件,填必要不充分.

5.m2【解析】因为“x2”是“xm”的必要不充分条件,所以m,是2,的真子集, 所以m2,故答案为m2.

6.A【解析】当a>0, b>0时,ab2ab,则当ab4时,有2abab4,解得ab4,充分性成立；当a=1, b=4时,满足ab4,但此时a+b=5>4,必要性不成立,综上所述,“ab4”是“ab4”的充分不必要条件.

7.充分不必要条件【解析】解绝对值不等式“

”的充分不必要条件,即“8.且方程

【解析】因为方程

,所以只需

,即”是“

”,得

或

,又“

”是“

或

”的充分不必要条件,故答案为：充分不必要条件. 有两个不相等的负实数根,

,解得

,

,

有两个同号但不相等的实根的一个充要条件是

13

9.解：（1）∵pr,qr,rs,sq,∴prs, ∴ps而sp,∴s是p的必要条件．

（2）由于pq,而qp,∴p是q的充分条件． （3）其中r与s,r与q,s与q三对互为充要条件．

一、选择题

1.“x24”是“x2”成立的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2.设xR,则“x1”是“x1”的( ) A．充分而不必要条件 C．充要条件 3．设a,bR,则“

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

a1”是“ab0”的（ ） bA．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4.对于实数x,y,若p:x2或y1,q:xy3,则p是q的（ ） A．充分不必要条件 不必要条件

5.若a、b不全为0,必须且只需( ) A．ab0

C．a、b中只有一个为0

B．a、b中至多有一个不为0 D．a、b中至少有一个不为0

B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也

6．设xR,则“x2”是“x4”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

7.设xR,则“0x3”是“x12” 的（ ） A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

14

C．充分必要条件 二、填空题

D．既不充分也不必要条件

8．“x12”是“x3”的____条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要条件”、“充要”中选择填空）．

9．若“x3”是“xm”的必要不充分条件,则m的取值范围是________．

10．已知p:0x1, q:xk,若p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是________. 11．若x1,m是不等式2x2x30成立的充分不必要条件,则实数m的范围是________. 12．设a,b∈R,则“a＞b”是“ab”的_____条件(填充分不必要,必要不充分等）

13．已知A⊆B,则“x∈A”是“x∈B”的________条件,“x∈B”是“x∈A”的________条件．(填“充分”或“必要”)

14．“ab>0”是“a>0,b>0”的________条件(填“充分”或“必要”)． 15．若

是

的充分不必要条件,则实数的取值范围为_________

16．已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,则s是q的________条件,r是q的________条件,p是s的________条件． 三、解答题

x2xy4p:xy4 q:,p是q的什么条件？并说明理由． 17．．；y2

18.已知p, q都是r的必要条件, s是r的充分条件, q是s的充分条件, 那么： (1)s是q的什么条件？ (2)p是q的什么条件？

19．已知p：x＜﹣2或x＞10；q：1﹣m≤x≤1+m2；¬p是q的充分而不必要条件,求实数m的取值范围． 【答案】

1.B【解析】由x24得x2或x2,则“x24”是“x2”成立的必要不充分条件, 故选B．

2.A【解析】由x1,解得x1或x1,故“x1”是“x1”的充分不必要条件, 故选A．

15

3.B【解析】a2,b1,aa1,但ab,故1是ab0的必要不充分条件. bb4.B取x0,y0 此时xy03 不充分,q:xy3若p:x2或y1等价于x2且

y1xy3,易知成立,必要性,故答案选B

5.D【解析】 “a、b不全为0”包含三种情况,分别是“b为0,a不为0”、“b不为0,a为0”、“a、b都不为0”,故a、b中至少有一个不为0,故选D.

6.D【解析】由x2可得2x2,由x4可得0x16,2x2是0x16的既不充分也不必要条件,“x2”是“x4”的既不充分也不必要条件.

7.A【解析】由x12,得2x12,解得1x3,0,3是1,3的子集,故“0x3”是“x12”的充分而不必要条件.故选A.

8.充分不必要【解析】由“x12”解得1x3,由题得“x12” “x3”,但“x3”不能推出“x12”,故“x12”是“x3”的充分不必要条件.

9.m3【解析】因为“x3”是“xm”的必要不充分条件,所以m,是3,的真子集,所以m3, 故答案为m3.

10.(,0]【解析】因为p是q的充分不必要条件,所以k≤0.故答案为：,0

331,x12x301x11.,,由于x1,m是【解析】不等式可转化为解得221x33m1,,,. 的充分不必要条件结合集合元素的互异性得到2212.充分不必要条件【解析】由于abab,而abab,所以“ab”是“ab”的充分不必要条件.

13.充分 必要 【解析】因为A⊆B,即A是B的子集,所以如果有x∈A,即x是集合A的元素,那么一定有x∈B,即x是集合B的元素,根据充分条件的定义可知,“x∈A”是“x∈B”的充分条件,同时x∈B”是“x∈A”的必要条件.

16

14.必要【解析】由可得且或者且两种情况；而由,,一定有

,所以答案填“必要”. 15.a≥3,

故答案为[3,+∞）

16.充分充分必要【解析】将题目条件借助于推出符号表示为的充分条件,p是s的必要条件．

17.解：p是x4的必要不充分条件,理由如下：①必要性：

xyy2,y2224,则xy4,

【解析】∵“a＜x＜a+2”是“x＞3”的充分不必要条件,∴{x|a＜x＜a+2}{x|x＞3},∴

s是q的充分条件,r是q

x2,y>2,

又

x2,y0,xy2y,

y2,2y4,则xy4；必要性成立；

xy4x2.y1,充分性 ,但不满足q:②不充分性：举例说明如x5,满足p:xy4y2不成立．

综上,p是x4的必要不充分条件. 18.解： (1)(2)

,

是的充分也是必要条件．

是的必要条件．

19.解：∵p：x＜﹣2,或x＞10；q：1﹣m≤x≤1+m2,∴¬p：﹣2≤x≤10,∵¬p⇒q,∴

又∵q 推不出¬p∴m≠3,∴m的取值范围为（3,+∞）.

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