初中数学十大思想方法-换元法

初中数学思想与方法——换元法

一、内容提要

1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.

2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.

例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.

3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.

4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.

5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等.

例如：一元四次的倒数方程ax4+bx3+cx2+bx+a=0.

112两边都除以x2,得a(x2+x)+b(x+x)+c=0.

112设x+x=y, 那么x2+x= y2－2,

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原方程可化为ay2+by+c－2=0.

对于一元五次倒数方程 ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0， 必有一个根是－1.

原方程可化为 (x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0.

ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0 ，这是四次倒数方程.

形如 ax4－bx3+cx2＋bx+a=0 的方程，其特点是：

与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.

112两边都除以x2, 可化为a(x2+x)－b(x－x)+c=0.

112设x－x=y, 则x2+x=y2+2,

原方程可化为 ay2－by+c+2=0.

二、例题

2x1x1x1=x. 例1. 解方程

2解：设x1x1=y, 那么y2=2x+2x1.

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1原方程化为： y－2y2=0 .

解得 y=0；或y=2.

当y=0时， x1x1=0 (无解)

当y=2时， x1x1=2，

5解得，x=4. 检验（略）.

例2. 解方程：x4+(x－4)4=626.

xx4解：（用平均值2 代换）

设 y= x－2 ，则x=y+2.

原方程化为 (y+2)4+(y－2)4=626.

［((y+2)2－(y－2)2)2＋2(y+2)2(y－2)2－626=0

整理，得 y4+24y2－297=0. (这是关于y的双二次方程).

(y2+33)(y2－9)=0.

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当y2+33=0时， 无实根 ；

当y2－9=0时， y=±3.

即x－2=±3，

∴x=5；或x=－1.

例3. 解方程：2x4+3x3－16x2+3x+2=0 .

解：∵这是个倒数方程，且知x≠0，

112两边除以x2,并整理 得2(x2+x)+3(x+x)－16=0.

112 设x+x=y, 则x2+x=y2－2.

原方程化为 2y2+3y－20=0.

5解得 y=－4；或y=2.

由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.

1由y=2.5得 x=2；或x=2.

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222x5xy2yxy102x4xyy212x12y100例4 解方程组

解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.）

设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：

2u322uuv10u4112v9. u12u2v100. 解得v37； 或2xy3xy4xy119即xy37 ； 或 .

123123xx33x241x241y123y12333解得：；或；或y241；或y241.

三、练习

解下列方程和方程组：（1到15题）：

1. xx72x(x7)35－2x.

2. (16x2－9)2+(16x2－9)(9x2－16)+(9x2－16)2=(25x2－25)2.

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3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 . 4. (2x2－x－6)4+(2x2－x－8)4=16.

555. (2x11)4+(2x13)4=16.

6.

x132xx=2. 7. 2x4－3x3－x2－3x+2=0. x2122xyxy182xy2xy198. 9.

111xy3x2y2160.

10.

743x26x4x26x9x26x5.

xy5x2yx1y15xy10xy1311. . 12. .

1xxy33y213. y2xy8y10. 14

x111xxx.

15. 分解因式： ①(x+y－2xy)(x+y－2)+(1－xy)2； ②a4+b4+(a+b)4 .

16. 已知：a+2=b－2=c×2=d÷2, 且a+b+c+d=1989.

则a=___,b= ____,c=_____,d=____

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参考答案

29221. 12

342. ±4±3

53. －2

31654. 2,－2,4

21131，-3232 5.

6. 1

17.2,2

x2x3x27x27y3y2y27y27 8.x4x12x555x555y12y4y555y555 9. 10. 7,－1

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x8x3y5y10 11.x8x2y2y8 12.x3x5x410x410y1y1y310y310 13 1514. x=2

15.①设x+y=a,xy=b ②设a2+b2=x,ab=y

16.设原式=k, k=442

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