专题：椭圆的焦点三角形

椭圆的焦点三角形

一 知识梳理

定义：椭圆（双曲线)上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点三角形叫焦点直

角三角形。

性质一：该三角形一边长为焦距，另两边的和为定值。所以周长为定值2a+2c

x2y2性质二:已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中

abF1PF2,则SF1PF2b2tan2.

y P 证明：记|PF1|r1,|PF2|r2，

由椭圆的第一定义得r1r22a,(r1r2)24a2.

F1 O F2 x 在△F1PF2中,由余弦定理得:r1r22r1r2cos(2c)2. 配方得：(r1r2)22r1r22r1r2cos4c2. 即4a22r1r2(1cos)4c2.

222(a2c2)2b2r1r2.

1cos1cos由任意三角形的面积公式得：

SF1PF21sinr1r2sinb2b221cos2sin22b2tan。

22cos22cosSF1PF2b2tan2.

x2y2性质三:已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中

ab2b2F1PF2,则cos2112e2.并且点P在y轴上是张角最大。

a证明：设PF1r1,PF2r2,则在F1PF2中，由余弦定理得：

r12r22F1F2(r1r2)22r1r24c24a24c2 cos1

2r1r22r1r22r1r22b22b212112e2.当切仅当r1r2，即点P在y轴是cos取的最小值,而角取r1r22a()2得最大值。

2专题：椭圆的焦点三角形

二 典型例题

x2y21的长轴AB分成8分，过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，例1 如图把椭圆

2516P2,……PP7七个点，F是椭圆的一个焦点，则PF12F......P7F_____

解：只需取椭圆的另一焦点与P1，P2,……P7七个

点分别连接，由结

论1和对称性可知

1PFPF......PF14535 1272x2y21上的一点，F2是例2若P是椭圆F1、10064其焦点，且

F1PF260，1)求△F1PF2的面积2）求点P的坐标

x2y2例3已知F1、F2是椭圆221(ab0)的两个焦点,椭圆上一点P使F1PF290，求椭圆离

ab心率e的取值范围。

由焦点三角形性质二， cos90012e2.



2≤e＜1 2三 练习题

y2x21上一点P与椭圆两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△F1PF2的面积为( ）1. 椭圆

4924 A. 20 B。 22 C。 28 D。 24

x22. 椭圆y21的左右焦点为F1、F2, P是椭圆上一点，当△F1PF2的面积为1时，PF1PF2的

4值为（ ）

A。 0 B. 1 C。 3 D. 6

x23。 椭圆y21的左右焦点为F1、F2， P是椭圆上一点，当△F1PF2的面积

4最大时,PF1PF2的值为（ ）

专题：椭圆的焦点三角形

A。 0 B. 2 C. 4 D. 2

x24．已知椭圆2y21（a＞1)的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点，

a且F1PF260，则|PF1||PF2|的值为（ ）

1A．1 B．

3

4 C．

3

2 D．

35。 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴,F1、F2为焦点,点P在椭圆上，

直线PF1与PF2倾斜角的差为90，△F1PF2的面积是20，离心率为求椭圆的标准方程。

x2y26 F1,F2是椭圆C:1的焦点,在C上满足PF1PF2的点P的个数为？

845， 3 A。 0 B. 1 C. 3 D. 4

x2y27 椭圆1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点,当F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围

94是 。

8已知椭圆的两个焦点为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰三角形，则椭圆

的离心率为（ ） A

221 B C 22 D 21 22x249已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则

△ABC的周长是 . 10设

F1,F2是椭圆+=1的左、右焦点,点M在椭圆上,若△MF1F2是直角三角形，则

△MF1F2的面积等于（ )

（A) （B） （C）或16 （D)或16

变式 设

x2y2F1,F2是椭圆1的左、右焦点，点

164M在椭圆上,若△MF1F2是直角三角形,

专题：椭圆的焦点三角形

则△MF1F2的面积等于?