2022年福建省中考数学试卷和答案
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（4分）﹣11的相反数是（ ） A．﹣11
B．
C．
D．11
2．（4分）如图所示的圆柱，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）5G应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变．截止2021年底，全省5G终端用户达1397.6万户．数据13976000用科学记数法表示为（ ） A．13976×103
B．1397.6×104
C．1.3976×107 D．0.13976×108
4．（4分）美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A．
B．
C．
D．π
6．（4分）不等式组A．x＞1
的解集是（ ）
C．1＜x≤3
D．x≤3
B．1＜x＜3
7．（4分）化简（3a2）2的结果是（ ） A．9a2
B．6a2
C．9a4
D．3a4
8．（4分）2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列．如图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图．
综合指数越小，表示环境空气质量越好．依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地区是（ ）
A．F1
B．F6
C．F7
D．F10
9．（4分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（ ） （参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
A．9.90cm
B．11.22cm
C．19.58cm
D．22.44cm
10．（4分）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是（ ）
A．96
B．96
C．192
D．160
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．（4分）四边形的外角和度数是 ．
12．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为 ．
13．（4分）一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是 ．
14．（4分）已知反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数） 15．（4分）推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令x＝m， 等式两边都乘以x，得x2＝mx．① 等式两边都减m2，得x2﹣m2＝mx﹣m2．②
等式两边分别分解因式，得（x+m）（x﹣m）＝m（x﹣m）．③ 等式两边都除以x﹣m，得x+m＝m．④ 等式两边都减m，得x＝0．⑤ 所以任意一个实数都等于0．
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ． 16．（4分）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 ．
三、答案题：本题共9小题，共86分。答案应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算：
+|
﹣1|﹣20220．
18．（8分）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．
19．（8分）先化简，再求值：（1+）÷
，其中a＝
+1．
20．（8分）学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，
同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．
调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），按同样的分组方法制成如下扇形统计图．其中A组为0≤t＜1，B组为1≤t＜2，C组为2≤t＜3，D组为3≤t＜4，E组为4≤t＜5，F组为t≥5．
（1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组； （2）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．
21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF． （1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
22．（10分）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．
（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？
（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．
23．（10分）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tan∠ADB的值．
24．（12分）已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC． （1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形； （2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若∠BAD＝∠BCD，求∠ADB的度数．
25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断
+
是否存在
最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
答案
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．【知识点】相反数．
【答案】解：﹣（﹣11）＝11． 故选：D．
2．【知识点】简单几何体的三视图．
【答案】解：根据题意可得，圆柱的俯视图如图， ． 故选：A．
3．【知识点】科学记数法—表示较大的数． 【答案】解：13976000＝1.3976×107． 故选：C．
4．【知识点】轴对称图形．
【答案】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两
旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：A．
5．【知识点】无理数．
【答案】解：根据题意，设点P表示的数为p， 则1＜P＜2， ∵1
，
．
∴这个无理数是故选：B．
6．【知识点】解一元一次不等式组． 【答案】解：由①得：x＞1， 由②得：x≤3，
∴不等式组的解集为1＜x≤3． 故选：C．
7．【知识点】幂的乘方与积的乘方． 【答案】解：（3a2）2＝9a4． 故选：C．
8．【知识点】其他统计图．
【答案】解：根据题意可得，F10地区环境空气质量综合指数约为1.9，是10个地区中最小值． 故选：D．
9．【知识点】解直角三角形的应用．
，
【答案】解：∵AB＝AC，BC＝44cm， ∴BD＝CD＝22cm，AD⊥BC， ∵∠ABC＝27°， ∴tan∠ABC＝
≈0.51，
∴AD≈0.51×22＝11.22cm， 故选：B．
10．【知识点】平移的性质；勾股定理．
【答案】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝8， 则BC＝AB•tan∠CAB＝8
，
由平移的性质可知：AC＝A′C′，AC∥A′C′， ∴四边形ACC′A′为平行四边形，
∵点A对应直尺的刻度为12，点A′对应直尺的刻度为0， ∴AA′＝12， ∴S四边形ACC′A′＝12×8故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．【知识点】多边形内角与外角．
【答案】解：四边形的外角和度数是360°， 故答案为：360°．
12．【知识点】三角形中位线定理．
【答案】解：∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线，
＝96
，
∴DE＝BC＝×12＝6． 故答案为：6．
13．【知识点】概率公式． 【答案】解：根据题意可得， P（这个球是红球）＝． 故答案为：．
14．【知识点】反比例函数的性质．
【答案】解：∵该反比例图象位于第二、四象限， ∴k＜0，
∴k取值不唯一，可取﹣3， 故答案为：﹣3（答案不唯一）． 15．【知识点】推理与论证．
【答案】解：设任意一个实数为x，令x＝m，
等式两边都乘以x，得x2＝mx．①依据为等式的基本性质2； 等式两边都减m2，得x2﹣m2＝mx﹣m2．②依据为等式的基本性质1；
等式两边分别分解因式，得（x+m）（x﹣m）＝m（x﹣m）．③依据为分解因式；
等式两边都除以x﹣m，得x+m＝m．④依据为等式的基本性质2；但是用法出错，
题干中给出的条件是x＝m，所以x﹣m＝0，不能直接除． 故答案为：④．
16．【知识点】抛物线与x轴的交点． 【答案】解：针对于抛物线y＝x2+2x﹣n， 令y＝0，则x2+2x﹣n＝0， ∴x＝﹣1±
，
针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣n， 令y＝0，则x2﹣2x﹣n＝0， ∴x＝1±
，
∵抛物线y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2+2x﹣n的顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1）， ∵抛物线y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1， ∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的顶点坐标为（1，﹣n﹣1），
∴抛物线y＝x2+2x﹣n与抛物线y＝x2﹣2x﹣n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，顶点到x轴的距离相等， ∴AB＝CD， ∵AD＝2BC，
∴抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴的交点C在左侧，D在右侧， ∴A（﹣1﹣（1+
，0），
﹣（﹣1﹣
，
）， ）＝2+2
，BC＝﹣1+
﹣（1
，0），B（﹣1+
，0），C（1﹣
，0），D
∴AD＝1+﹣∴2+2
）＝﹣2+2
＝2（﹣2+2
∴n＝8， 故答案为：8．
三、答案题：本题共9小题，共86分。答案应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【知识点】零指数幂；绝对值；算术平方根；估算无理数的大小；实数的运算． 【答案】解：原式＝2+
﹣1﹣1＝
．
18．【知识点】全等三角形的判定与性质． 【答案】证明：∵BF＝EC， ∴BF+CF＝EC+CF， 即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠A＝∠D．
19．【知识点】分式的化简求值；二次根式的性质与化简；平方差公式；因式分解﹣运用公式法． 【答案】解：原式＝＝＝
•，
+1时，原式＝
＝
．
÷
当a＝
20．【知识点】条形统计图；中位数；扇形统计图．
【答案】解：（1）把第1次调查的50名学生课外劳动时间从小到大排列，处在中间位置的两个数，
即处在第25、第26位的两个数都落在C组， 因此第1次调查学生课外劳动时间中位数在C组；
把第2次调查的50名学生课外劳动时间从小到大排列各个分组，计算所占百分比的和， 和为50%和52%的都在D组，
因此第2次调查学生课外劳动时间的中位数在D组； （2）2000×（30%+24%+16%）＝1400（人），
答：该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数大约是1400人．
21．【知识点】弧长的计算；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
【答案】证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D，
∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D， ∴∠AFC＝∠ACF， ∴AC＝AF．
（2）连接AO，CO，如图， 由（1）得∠AFC＝∠ACF，
∵∠AFC＝＝75°，
∴∠AOC＝2∠AFC＝150°， ∴的长l＝
＝
．
22．【知识点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
【答案】解：（1）设购买绿萝x盆，吊兰y盆， 依题意得：解得：
．
，
∵8×2＝16，16＜38， ∴
符合题意．
答：购买绿萝38盆，吊兰8盆．
（2）设购买绿萝m盆，则购买吊兰（46﹣m）盆， 依题意得：m≥2（46﹣m）， 解得：m≥
．
设购买两种绿植的总费用为w元，则w＝9m+6（46﹣m）＝3m+276， ∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m≥，且m为整数，
∴当m＝31时，w取得最小值，最小值＝3×31+276＝369． 答：购买两种绿植总费用的最小值为369元．
23．【知识点】解直角三角形；切线的性质；作图—复杂作图． 【答案】解：（1）根据题意作图如下：
（2）设∠ADB＝α，⊙A的半径为r，
∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G， ∴AE⊥BD，AG⊥CG， 即∠AEF＝∠AGF＝90°，
∵CF⊥BD， ∴∠EFG＝90°， ∴四边形AEFG是矩形， 又AE＝AG＝r，
∴四边形AEFG是正方形， ∴EF＝AE＝r，
在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD＝90°，∠ABD＝90°，
∴∠BAE＝∠ADB＝α， 在Rt△ABE中，tan∠BAE＝，
∴BE＝r•tanα，
∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABE＝∠CDF， 又∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF＝r•tanα， ∴DE＝DF+EF＝r•tanα+r， 在Rt△ADE中，tan∠ADE＝， 即DE•tanα＝AE， ∴（r•tanα+r）•tanα＝r， 即tan2α+tanα﹣1＝0，
ADB+∠
∵tanα＞0， ∴tanα＝
，
即tan∠ADB的值为
．
24．【知识点】三角形综合题．
【答案】（1）证明：∵△ABC≌△DEC， ∴AC＝DC， ∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC， ∵CB平分∠ACD， ∴∠DCB＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠DCB， ∴AB∥CD，
∴四边形ABDC为平行四边形， ∵AB＝AC，
∴平行四边形ABDC为菱形； （2）解：∠ACE+∠EFC＝180°， 理由如下：∵△ABC≌△DEC， ∴∠ABC＝∠DEC， ∴∠ACB＝∠DEC，
∵∠ACB+∠ACF＝∠DEC+∠CEF＝180°，∴∠CEF＝∠ACF，
∵∠CEF+∠ECF+∠EFC＝180°，
∴∠ACF+∠ECF+∠EFC＝180°， ∴∠ACE+∠EFC＝180°；
（3）解：如图3，在AD上取点M，使AM＝BC，连接BM， 在△AMB和△CBD中，
，
∴△AMB≌△CBD（SAS）， ∴BM＝BD，∠ABM＝∠CDB， ∴∠BMD＝∠BDM， ∵∠BMD＝∠BAD+∠MBA， ∴∠ADB＝∠BCD+∠BDC，
设∠BCD＝∠BAD＝α，∠BDC＝β，则∠∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝α+2β， ∴∠BAC＝∠CAD﹣∠BAD＝2β， ∴∠ACB＝×（180°﹣2β）＝90°﹣∴∠ACD＝90°﹣β+α，
∵∠ACD+∠CAD+∠CDA＝180°，∴90°﹣β+α+α+2β+α+2β＝180°， ∴α+β＝30°，即∠ADB＝30°．
ADB＝α+β， β，
25．【知识点】二次函数综合题．
【答案】解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx， ∴
，解得
．
x．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+t， 将A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t， ∴解得
， ．
∵A（4，0），B（1，4）， ∴S△OAB＝×4×4＝8，
∴S△OAB＝2S△PAB＝8，即S△PAB＝4，
过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图，
∴S△PAB＝S△PNB+S△PNA＝PN×BE+PN×AM＝PN＝4， ∴PN＝．
设点P的横坐标为m， ∴P（m，﹣m2+∴PN＝﹣m2+
m）（1＜m＜4），N（m，﹣m+m﹣（﹣m+
）＝．
），
解得m＝2或m＝3； ∴P（2，
）或（3，4）．
（3）∵PD∥OB，
∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC， ∴△DPC∽△BOC，
∴CP：CO＝CD：CB＝PD：OB， ∵∴
＝+
，＝
＝．
），
，
设直线AB交y轴于点F．则F（0，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，如图，
∵∠PDC＝∠OBC， ∴∠PDG＝∠OBF， ∵PG∥OF， ∴∠PGD＝∠OFB， ∴△PDG∽△OBF， ∴PD：OB＝PG：OF， 设P（n，﹣n2+
n）（1＜n＜4），
n﹣
，
由（2）可知，PG＝﹣n2+∴
+
＝
＝
＝PG＝﹣（n﹣）2+．
∵1＜n＜4， ∴当n＝时，
+
的最大值为．
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