2021中考专题 由“弦图”来谈“一线三垂直”证全等

一、“弦图”与“一线三垂直”的联系

外弦图

内弦图

注意：“外弦图”和“内弦图”四个直角三角形全等

二、“一线三垂直”的证明

1.如图，AB⊥BD，AC⊥CE，ED⊥BD，且AC=CE 求证：Rt△ABC≌Rt△CDE． 证明：在Rt△ABC中，

∠A+∠ABC+∠ACB=180° ∵∠BCD是平角

∴ ∠ACB+∠ACE+∠DCE=180° ∵∠ABC= ∠ACE= 90°

∴∠A=∠DCE ∵AC=CE

∴Rt△ABC≌Rt△CDE（AAS）．

三、经典练习

一、填空题

1．如图，正方形ABCD的顶点B在直线l上，作AEl于E，连结CE，若BE4，AE3，则BCE 的面积________．

【答案】8

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2．如图，已知边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中，位于轴上方OA与x轴正半轴的夹角为60°，则C点坐标为________．

【答案】(3,1)

3．如图，平面内直线l1//l2//l3//l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为________．

【答案】5

二、解答题

4．如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G． 求证：AE＝BF．

证明：∵正方形ABCD， ∴∠ABC＝∠C，AB＝BC． ∵AE⊥BF，

∴∠AGB＝∠BAG+∠ABG＝90°， ∵∠ABG+∠CBF＝90°， ∴∠BAG＝∠CBF． 在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BF．

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5．综合与实践 问题情境：

如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB90，将RtABE绕点B按顺时针方向旋转90，得到CBE（点A的对应点为点C），延长AE交CE于点F，连接DE． 猜想证明：

（1）试判断四边形BEFE的形状，并说明理由；

（2）如图②，若DADE，请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明； 解决问题：

（3）如图①，若AB15，CF3，请直接写出DE的长．

【答案】（1）四边形BEFE是正方形；（2）CFFE；（3）317．

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6.如图1，Rt△AOB的直角顶点O在坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，

OA＝4，OB＝2．将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥x轴于点D，

抛物线y＝ax+3x+c经过点C，与y轴交于点E（0，2），直线AC与x轴交于点H． （1）求点C的坐标及抛物线的表达式；

（2）如图2，已知点G是线段AH上的一个动点，过点G作AH的垂线交抛物线于点F（点

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F在第一象限）．设点G的横坐标为m．

①点G的纵坐标用含m的代数式表示为 ﹣m+4 ；

②如图3，当直线FG经过点B时，求点F的坐标，判断四边形ABCF的形状并证明结论；

（1）C（6，2）

抛物线解析式为y＝﹣x+3x+2 （2）①﹣m+4 ②菱形ABCF是正方形

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