2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市道里区八年级（上）期
末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2. 下列运算正确的是( )
A. 𝑎3⋅𝑎2=𝑎6 C. (𝑎−𝑏)2=𝑎2−𝑏2
3. 下列二次根式是最简二次根式的为( )
B. 𝑎3÷𝑎=𝑎2 D. (𝑎2)3=𝑎5
A. √10
4. 在式子𝑎,3,𝑎−𝑏,
1𝑏
𝑐
2𝑎𝑏𝜋
B. √20
𝑥
C. √23
D. √3.6
,𝑥2−𝑦2中，分式的个数为( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
5. 等腰三角形一边长是2，一边长是5，则此三角形的周长是( )
A. 9
2𝑎
B. 12 C. 15 D. 9或12
6. 若分式𝑎+𝑏中𝑎，𝑏的值同时扩大为原来的4倍，则此分式的值( )
A. 扩大为原来的8倍 C. 缩小到原来的2
1
B. 扩大为原来的4倍 D. 不变
7. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶的垂直平分线交𝐴𝐵于点𝐷，交𝐵𝐶于
点𝐸，若∠𝐴=50°，∠𝐷𝐶𝐵=2∠𝐴𝐶𝐷，则∠𝐵的度数为( )
A. 26° B. 36° C. 52° D. 45°
8. 八年级学生去距学校15𝑘𝑚的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了30𝑚𝑖𝑛后，
其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车同学的速度为𝑥千米/时，则所列方程时( )
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A. 2𝑥+30=𝑥
9. 已知分式
𝑥2−1𝑥+1
1515
B. 2𝑥−30=𝑥
1515
C. 2𝑥+2=𝑥
15115
D. 2𝑥−2=𝑥
15115
的值等于0，则𝑥的值为( )
A. 0 B. 1 C. −1 D. 1或−1
𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，10. 如图，作𝐴𝐷的垂直平分线𝐸𝐹交
𝐵𝐶的延长线于点𝐹，连接𝐴𝐹.下列结论：①𝐴𝐹=𝐷𝐹；𝑆△𝐴𝐶𝐷=𝐴𝐵：𝐴𝐶；②𝑆△𝐴𝐵𝐷：③∠𝐵𝐴𝐹=∠𝐴𝐶𝐹；④𝐵𝐹⊥𝐴𝐶.其中命题一定成立的有( )
A. 1个
B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分） 11. 将数0.000067用科学记数法表示为______． 12. 若分式−𝑥−3有意义，则𝑥的取值范围为______． 13. 计算√8−2√的结果是______．
2
14. 分解因式：𝑚𝑎2−4𝑚𝑎+4𝑚= ______ ． 15. 分式方程2𝑥=𝑥+3的解是______．
16. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，△𝐴𝐵𝐶的周
长为30𝑐𝑚，𝐵𝐷=4𝑐𝑚，则𝐴𝐶的长为______𝑐𝑚．
17. 等腰△𝐴𝐵𝐶的顶角为30°，腰长为8，则△𝐴𝐵𝐶的面积为______．
18. 已知，等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=120°，𝑃为直线𝐵𝐶上一点，𝐵𝑃=𝐴𝐵，
则∠𝐴𝑃𝐵的度数为______．
𝐵𝐷和𝐶𝐷分别是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线，𝐸𝐹过19. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，
点𝐷，且𝐸𝐹//𝐵𝐶，若𝐵𝐸=3，𝐶𝐹=4，则𝐸𝐹的长为______．
1
21𝑥
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20. 如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，点𝐸在𝐴𝐶的延长线上，点
𝐷在线段𝐴𝐵上，连接𝐸𝐷交线段𝐵𝐶于点𝐹，过点𝐹作𝐹𝑁⊥𝐴𝐶于点𝑁，𝐷𝐵=5𝐶𝑁，𝐸𝐹=𝐹𝐷，若𝐹𝐵=17，则𝐴𝑁的长为______．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分） 21. 计算：
(1)(√5+√3)(√5−√3)；
(2)(−𝑎2𝑏)3⋅5𝑎2𝑏.
22. 先化简，再求值：𝑥2−1÷(1+𝑥−1)，其中𝑥=√3−1．
23. 如图，在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴，𝐵，𝐶的坐标分别为(3,2)，(4,−3)，
(1,−1)．
(1)在图中画出△𝐴𝐵𝐶关于𝑦轴的对称图形，其中𝐴，𝐵，𝐶的对应点分别为𝐴1，𝐵1，𝐶1，并直接写出𝐵1的坐标；
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𝑥
1
7
(2)在图中画出以𝐶𝐴为腰的等腰三角形𝐶𝐴𝐷，点𝐷在𝑦轴左侧的小正方形的顶点上，且△𝐶𝐴𝐷的面积为6．
𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝐵𝐷=𝐵𝐸，𝐴𝐷与𝐶𝐸相交于点𝐹． 24. 在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐸在𝐴𝐵上，点𝐷在𝐵𝐶上，
(1)如图1，求证：𝐴𝐹=𝐶𝐹；
(2)如图2，当𝐴𝐷=𝐴𝐶时，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图2中所有的等腰三角形．
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25. 某学校为了丰富学生的大课间活动，体育组决定购进一批排球和篮球，经调查发现
排球的单价比篮球的单价多7元，用700元购买的排球的数量与用560元购买的篮球的数量相同．
(1)求篮球和排球的单价各是多少元；
(2)该校体育组购进篮球和排球共30个，且购买篮球和排球的总费用不超过1000元，求该校体育组最多购买多少个排球？
26. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐶𝐴=90°，∠𝐴=45°．
(1)如图1，求证：𝐴𝐶=𝐵𝐶；
(2)如图2，∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐸𝐷𝐵.求证：2∠𝐷𝐴𝐶=点𝐷在𝐵𝐶上，点𝐸在𝐴𝐵上，连接𝐴𝐷和𝐷𝐸，∠𝐸𝐷𝐴；
(3)如图3，在(2)的条件下，过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐴𝐷于点𝐻，交𝐴𝐶于点𝐹，作𝐸𝐾⊥𝐴𝐵于点𝐸，交𝐴𝐶于点𝐾，连接𝐻𝐾，若𝐸𝐾=𝐸𝐷，△𝐾𝐻𝐸的面积为2，求𝐷𝐸的长．
9
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𝐶在𝑥轴上，𝐵(−4,0)，27. 如图，在平面直角坐标系中，点𝑂为坐标原点，点𝐴在𝑦轴上，点𝐵，
𝑂𝐴=𝑂𝐵，∠𝐴𝐶𝑂=30°． (1)求线段𝐴𝐶的长；
(2)点𝑃从𝐶点出发沿射线𝐶𝐴以每秒2个单位长度的速度运动，过点𝐴作𝐴𝐹⊥𝐴𝑃，点𝐹在𝑦轴的左侧，𝐴𝐹=𝐴𝑃，过点𝐹作𝐹𝐸⊥𝑦轴，垂足为𝐸，设点𝑃的运动时间为𝑡秒，请用含𝑡的式子表示𝐸𝐹的长；
(3)在(2)的条件下，直线𝐵𝑃交𝑦轴于点𝐾，𝐶(4√3,0)，当𝐵𝐾=𝐴𝐶时，求𝑡的值，并求出点𝑃的坐标．
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答案和解析
1.【答案】𝐷
【解析】 【分析】
此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】
解：𝐴.不是轴对称图形，故此选项错误； B.不是轴对称图形，故此选项错误； C.不是轴对称图形，故此选项错误； D.是轴对称图形，故此选项正确． 故选：𝐷．
2.【答案】𝐵
【解析】解：𝐴、𝑎2⋅𝑎3=𝑎5，原计算错误，故此选项不符合题意； B、𝑎3÷𝑎=𝑎2，原计算正确，故此选项符合题意；
C、(𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2，原计算错误，故此选项不符合题意； D、(𝑎2)3=𝑎6，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：𝐵．
根据同底数幂的乘法的运算法则，同底数幂的除法的运算法则，完全平方公式，幂的乘方的运算法则解答即可．
本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，完全平方公式，幂的乘方．熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则，同底数幂的除法的运算法则，完全平方公式，幂的乘方的运算法则是解题的关键．
3.【答案】𝐴
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【解析】解：𝐴、√10是最简二次根式； B、√20=2√5，不是最简二次根式； C、√2=√6，不是最简二次根式；
3
3
D、√3.6=3√10，不是最简二次根式；
5
故选：𝐴．
根据最简二次根式的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4.【答案】𝐵
【解析】解：𝑎，𝑎−𝑏，𝑥2−𝑦2这3个式子分母中含有字母，因此是分式． 其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式． 故选：𝐵．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数．
1
𝑐
𝑥
5.【答案】𝐵
【解析】解：①若5为腰长，2为底边长， ∵5，5，2能组成三角形， ∴此时周长为：5+5+2=12； ②若2为腰长，5为底边长， ∵2+2=4<5，
∴不能组成三角形，故舍去； ∴周长为12． 故选：𝐵．
由等腰形三角形有一边长为5，一边长为2，即可分别从若5为腰长，2为底边长与若2为
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腰长，5为底边长去分析求解即可求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题比较简单，注意分类讨论思想的应用．
6.【答案】𝐷
【解析】解：根据题意，得4𝑎+4𝑏=𝑎+𝑏，
即分式𝑎+𝑏中𝑎，𝑏的值同时扩大为原来的4倍，则此分式的值不变， 故选：𝐷．
根据题意得出算式，再根据分式的基本性质进行计算即可．
本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的性质进行计算是解此题的关键．
2𝑎
2×4𝑎
2𝑎
7.【答案】𝐶
【解析】解：∵𝐵𝐶的垂直平分线交𝐴𝐵于点𝐷， ∴𝐵𝐷=𝐶𝐷， ∴∠𝐵=∠𝐷𝐶𝐵， ∵∠𝐷𝐶𝐵=2∠𝐴𝐶𝐷， ∴设∠𝐴𝐶𝐷=𝛼， ∴∠𝐵=∠𝐷𝐶𝐵=2𝛼，
∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵=180°−∠𝐴=130°， ∴5𝛼=130°， ∴𝛼=26°， ∴∠𝐵=52°， 故选：𝐶．
根据线段垂直平分线的性质得到𝐵𝐷=𝐶𝐷，求得∠𝐵=∠𝐷𝐶𝐵，设∠𝐴𝐶𝐷=𝛼，得到∠𝐵=∠𝐷𝐶𝐵=2𝛼，根据三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
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8.【答案】𝐶
【解析】解：设骑车学生的速度为𝑥 𝑘𝑚/ℎ，则乘车学生的速度为2𝑥 𝑘𝑚/ℎ， 依题意，得：2𝑥+2=故选：𝐶．
设骑车学生的速度为𝑥 𝑘𝑚/ℎ，则乘车学生的速度为2𝑥𝑘𝑚/ℎ，根据时间=路程÷速度结合骑车的学生比乘车的学生多用30𝑚𝑖𝑛(即2ℎ)，即可得出关于𝑥的分式方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
1
15
1
15𝑥
，
9.【答案】𝐵
【解析】解：由题意得：𝑥2−1=0且𝑥+1≠0， 解得：𝑥=1． 故选：𝐵．
根据分式值为零的条件可得：𝑥2−1=0且𝑥+1≠0，再解即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
10.【答案】𝐶
【解析】解：∵𝐸𝐹是𝐴𝐷的垂直平分线， ∴𝐴𝐹=𝐷𝐹，故①成立； ∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线， ∴点𝐷到𝐴𝐵和𝐴𝐶的距离相等，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷：𝑆△𝐴𝐶𝐷=𝐴𝐵：𝐴𝐶，故②成立； ∵𝐴𝐹=𝐷𝐹， ∴∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐴𝐷𝐹， ∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷， ∵∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐶𝐴𝐷+∠𝐶𝐴𝐹，
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∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐵， ∴∠𝐵=∠𝐶𝐴𝐹，
∵∠𝐵𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐶𝐴𝐹，∠𝐴𝐶𝐹=∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐵， ∴∠𝐵𝐴𝐹=∠𝐴𝐶𝐹，故③成立；
根据已知不能得出𝐵𝐹⊥𝐴𝐶，故④不成立； 故选：𝐶．
根据线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质，三角形外角的性质即可得到结论． 本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形的面积，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
11.【答案】6.7×10−5
【解析】解：0.000067=6.7×10−5． 故答案为：6.7×10−5．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为𝑎×10−𝑛，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为𝑎×10−𝑛，其中1≤|𝑎|<10，𝑛为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.【答案】𝑥≠3
【解析】解：根据题意得𝑥−3≠0， 解得𝑥≠3． 故答案为：𝑥≠3．
根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原分式可得关系式𝑥−3≠0，求解可得答案． 本题考查了分式有意义的条件，判断一个分式是否有意义，应考虑分母上字母的取值，字母的取值不能使分母为零．
13.【答案】√2
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【解析】解：原式=2√2−2×√
2
2=2√2−√2 =√2， 故答案为：√2．
原式各项化为最简二次根式，合并即可得到结果．
此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14.【答案】𝑚(𝑎−2)2
【解析】 【分析】
先提取公因式𝑚，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 【解答】
解：𝑚𝑎2−4𝑚𝑎+4𝑚， =𝑚(𝑎2−4𝑎+4)， =𝑚(𝑎−2)2．
15.【答案】𝑥=1
【解析】解：去分母得：𝑥+3=4𝑥， 解得：𝑥=1，
经检验𝑥=1是分式方程的解． 故答案为：𝑥=1．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到𝑥的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
16.【答案】11
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【解析】解：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∴𝐵𝐷=𝐶𝐷=4𝑐𝑚， ∴𝐵𝐶=𝐵𝐷+𝐶𝐷=8𝑐𝑚． ∵△𝐴𝐵𝐶的周长为30𝑐𝑚， ∴𝐴𝐶=𝐴𝐵=(30−8)=11，
21
故答案为11．
利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质是解决问题的关键．
17.【答案】16
【解析】解：如图，过𝐵作𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于𝐷，
∴∠𝐴𝐷𝐵=90°，
∵𝐴𝐵=𝐴𝐶=8，∠𝐴=30°， ∴𝐵𝐷=2𝐴𝐵=4， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=×8×4=16，
211
故答案为：16．
过𝐵作𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于𝐷，根据直角三角形的性质得到𝐵𝐷=2𝐴𝐵=4，由三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了含30°直角三角形的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
1
18.【答案】75°或15°
【解析】解：如图1，∵在等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=120°， ∴∠𝐵=∠𝐶=30°， ∵𝐵𝑃=𝐴𝐵，
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∴∠𝐴𝑃𝐵=
180°−30°
2
=75°；
如图2，在等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=120°， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶=30°， ∵𝐵𝑃=𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝑃𝐵=2∠𝐴𝐵𝐶=15°．
综上所述：∠𝐴𝑃𝐵的度数为75°或15°． 故答案为：75°或15°．
首先根据题意画出图形，然后利用等腰三角形的性质求解即可求得答案，注意分为点𝑃在边𝐵𝐶上或在𝐶𝐵的延长线上．
此题考查了等腰三角形的性质．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键．
1
19.【答案】7
【解析】解：∵𝐵𝐷和𝐶𝐷分别是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线， ∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐷𝐶𝐵， ∵𝐸𝐹//𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐷𝐵=∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐹𝐷𝐶=∠𝐷𝐶𝐵， ∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐸𝐷𝐵，∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐹𝐷𝐶， ∴𝐸𝐵=𝐸𝐷=3，𝐹𝐷=𝐹𝐶=4， ∴𝐸𝐹=𝐸𝐷+𝐷𝐹=3+4=7， 故答案为：7．
根据角平分线与平行两个条件，可证出等腰三角下即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线与平行两个条件，可以证明等腰三角形是解题的关键．
20.【答案】22
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【解析】解：延长𝐵𝐶到𝐺，连接𝐸𝐺，使三角形𝐶𝐸𝐺为等边三角形，设𝐵𝐷=5𝑥，则𝐶𝑁=7𝑥，
∵∠𝐺=∠𝐵，∠𝐵𝐹𝐷=∠𝐺𝐹𝐸，𝐷𝐹=𝐸𝐹， ∴△𝐵𝐹𝐷≌△𝐺𝐹𝐸，
∴𝐵𝐷=𝐸𝐺=𝐶𝐸=𝐶𝐺，𝐵𝐹=𝐺𝐹=17， 设𝐵𝐷=7𝑥，则𝐶𝑁=5𝑥，𝐶𝐺=7𝑥， ∴𝐶𝐹=17−7𝑥， 又∵𝐹𝑁⊥𝐴𝐶，
∴三角形𝐶𝐹𝑁为直角三角形， ∵∠𝐴𝐶𝐹=60°， ∴2𝐶𝑁=𝐶𝐹， ∴2×5𝑥=17−7𝑥， 解得𝑥=1，
∴𝐵𝐷=7，𝐶𝑁=5，𝐶𝐹=10， ∴三角形𝐴𝐵𝐶的边长为17+10=27， ∴𝐴𝑁=27−5=22， 故答案为：22．
延长𝐵𝐶到𝐺，连接𝐸𝐺，使三角形𝐶𝐸𝐺为等边三角形，设𝐵𝐷=5𝑥，则𝐶𝑁=7𝑥，根据勾股定理列出关于𝑥的方程，求出𝑥即可确定三角形𝐴𝐵𝐶的边长，从而求出𝐴𝑁的长度． 本题主要考查等边三角形的性质，关键是要构造出等边三角形𝐶𝐸𝐺，再利用全等三角形的性质和等边三角形的性质即可求解．
21.【答案】解：(1)原式=5−3
=2；
(2)原式=−𝑎6𝑏3⋅5𝑎2𝑏 =−5𝑎8𝑏4．
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【解析】(1)直接利用平方差公式计算得出答案；
(2)直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘单项式运算法则计算得出答案． 此题主要考查了二次根式的混合运算以及整式乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
22.【答案】解：原式=(𝑥+1)(𝑥−1)÷𝑥−1
=(𝑥+1)(𝑥−1)⋅=𝑥+1，
当𝑥=√3−1时，原式=
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把𝑥的值代入进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
√1
𝑥
𝑥−1𝑥
𝑥𝑥
=3−1+11√3
． 3
23.【答案】解：(1)如图所示，△𝐴1𝐵1𝐶1即为
所求；
(2)如图所示，△𝐶𝐴𝐷即为所求．
【解析】(1)利用关于𝑦轴对称的点的坐标特征写出𝐴、𝐵、𝐶的对称点𝐴1、𝐵1、𝐶1的坐标，然后描点即可；
(2)根据三角形面积公式和等腰三角形的性质解答即可．
本题考查了作图−轴对称变换：熟练掌握关于𝑦轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：在△𝐴𝐵𝐷和△𝐶𝐵𝐸中，
𝐴𝐵=𝐵𝐶{∠𝐵=∠𝐵， 𝐵𝐷=𝐵𝐸
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐸， ∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐶𝐴， ∴𝐴𝐹=𝐶𝐹；
(2)∵𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐴𝐶，𝐴𝐹=𝐹𝐶，
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∴△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐷𝐶，△𝐴𝐹𝐶都是等腰三角形， ∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐸， ∴𝐴𝐷=𝐶𝐸， ∴𝐴𝐶=𝐶𝐸，
∴△𝐴𝐶𝐸是等腰三角形．
【解析】(1)由“𝑆𝐴𝑆”可证△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐸，可得𝐴𝐵=𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐸，由等角对等边可证𝐴𝐹=𝐶𝐹；
(2)由等腰三角形的判定可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设篮球的单价为𝑥元，则排球的单价为(𝑥+7)元，
根据题意得：𝑥+7=解得：𝑥=28，
经检验，𝑥=28是原分式方程的解，且符合题意， ∴𝑥+7=35．
答：篮球的单价为28元，排球的单价为35元． (2)设购买排球𝑦个，则购买篮球(30−𝑦)个， 依题意得：35𝑦+28(30−𝑦)≤1000 解得𝑦≤227， 即𝑦的最大值为22，
答：该校体育组最多购买22个排球．
【解析】(1)设篮球的单价为𝑥元，则排球的单价为(𝑥+7)元，由题意：用700元购买的排球的数量与用560元购买的篮球的数量相同．列出分式方程，解方程即可； (2)设购买排球𝑦个，则购买篮球(30−𝑦)个，由题意：购买篮球和排球的总费用不超过1000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元一次不等式．
6700
560𝑥
，
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26.【答案】(1)证明：如图1中，
∵∠𝐵𝐶𝐴=90°，∠𝐴=45°， ∴∠𝐵=90°−∠𝐴=45°， ∴∠𝐴=∠𝐵， ∴𝐶𝐴=𝐶𝐵．
(2)证明：如图2中，过点𝐷作𝐷𝑇//𝐴𝐶交𝐴𝐵于𝑇．
∵𝐷𝑇//𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐴𝐷𝑇，∠𝑇𝐷𝐵=∠𝐶=90°， ∴∠𝐴𝐷𝐶+∠𝐴𝐷𝑇=90°，∠𝐵𝐷𝐸+∠𝑇𝐷𝐸=90°， ∵∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵𝐷𝐸， ∴∠𝐴𝐷𝑇=∠𝑇𝐷𝐸，
∴∠𝐴𝐷𝐸=2∠𝐴𝐷𝑇=2∠𝐶𝐴𝐷， ∴2∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐴𝐷𝐸．
(3)解：如图3中，过点𝐾作𝐾𝑇⊥𝐸𝐹交𝐸𝐹的延长线于𝑇.设𝐻𝐸=𝑎．
∵𝐸𝐾⊥𝐴𝐵， ∴∠𝐴𝐸𝐾=90°， ∵∠𝐸𝐴𝐾=45°， ∴∠𝐸𝐴𝐾=∠𝐸𝐾𝐴=45°，
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∴𝐴𝐸=𝐸𝐾， ∵𝐸𝐾=𝐷𝐸， ∴𝐸𝐴=𝐸𝐷， ∴∠𝐸𝐴𝐷=∠𝐴𝐷𝐸， ∵∠𝐴𝐷𝐸=2∠𝐶𝐴𝐷， ∴∠𝐸𝐴𝐷=2∠𝐶𝐴𝐷， ∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐸𝐷𝐴=30°， ∴𝐸𝐴=𝐸𝐷=𝐸𝐾=2𝐸𝐻=2𝑎， ∵𝐸𝑇⊥𝐴𝐷， ∴∠𝐴𝐻𝐸=90°，
∴∠𝐴𝐸𝐻=60°，∠𝐸𝐾𝑇=30°， ∵𝐾𝑇⊥𝐸𝑇， ∴∠𝑇=90°， ∴𝐾𝑇=2𝐸𝐾=𝑎， ∵𝑆△𝐸𝐾𝐻=，
2∴2⋅𝐸𝐻⋅𝐾𝑇=2， ∴2×𝑎×𝑎=2， ∴𝑎=3或−3(舍弃)， ∴𝐷𝐸=2𝑎=6．
【解析】(1)利用三角形内角和定理求出∠𝐵，证明∠𝐴=∠𝐵即可．
(2)如图2中，过点𝐷作𝐷𝑇//𝐴𝐶交𝐴𝐵于𝑇.想办法证明∠𝐴𝐷𝑇=∠𝐶𝐴𝐷=∠𝑇𝐷𝐸即可． (3)如图3中，过点𝐾作𝐾𝑇⊥𝐸𝐹交𝐸𝐹的延长线于𝑇.设𝐻𝐸=𝑎.证明∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐸𝐷𝐴=30°，推出𝐸𝐴=𝐸𝐷=𝐸𝐾=2𝐸𝐻=2𝑎，利用三角形的面积，构建方程求出𝑎即可解决问题． 本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
1
9
1
991
27.【答案】解：∵𝐵(−4,0)，𝑂𝐴=𝑂𝐵，
∴𝑂𝐴=𝑂𝐵=4，
∵∠𝐴𝐶𝑂=30°，∠𝐴𝑂𝐶=90°，
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∴𝐴𝐶=2𝐴𝑂=8；
(2)当点𝑃在线段𝐴𝐶上时，如图，过点𝑃作𝑃𝐺⊥𝑦轴于𝐺，过点𝐹作𝐹𝐻⊥𝑦轴于𝐻，
∵点𝑃从𝐶点出发沿射线𝐶𝐴以每秒2个单位长度的速度运动， ∴𝐶𝑃=2𝑡， ∴𝐴𝑃=8−2𝑡， ∵𝑃𝐺⊥𝑦轴，𝑂𝐶⊥𝑦轴， ∴𝑃𝐺//𝑂𝐶，
∴∠𝐴𝑃𝐺=∠𝐴𝐶𝑂=30°，
∴𝐴𝐺=𝐴𝑃=4−𝑡，𝑃𝐺=√3𝐴𝐺=4√3−√3𝑡，
2∵∠𝐹𝐴𝐻+∠𝐶𝐴𝑂=∠𝐶𝐴𝑂+∠𝐴𝑃𝐺=90°， ∴∠𝐹𝐴𝐻=∠𝐴𝑃𝐺，
又∵𝐴𝐹=𝐴𝑃，∠𝑃𝐺𝐴=∠𝐹𝐻𝐴=90°， ∴△𝐴𝑃𝐺≌△𝐹𝐴𝐻(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐻=𝐺𝑃=4√3−√3𝑡，
∴𝑂𝐻=|𝐴𝐻−𝐴𝑂|=|4√3−√3𝑡−4|， ∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，𝐹𝐻⊥𝐴𝐻，∠𝐵𝑂𝐻=90°， ∴四边形𝐸𝐹𝐻𝑂是矩形， ∴𝐸𝐹=|4√3−√3𝑡−4|，
当点𝑃在线段𝐶𝐴的延长线时，如图，过点𝑃作𝑃𝐺⊥𝑦轴于𝐺，过点𝐹作𝐹𝐻⊥𝑦轴于𝐻，
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∵点𝑃从𝐶点出发沿射线𝐶𝐴以每秒2个单位长度的速度运动， ∴𝐶𝑃=2𝑡， ∴𝐴𝑃=8−2𝑡，
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同理可证：△𝐴𝑃𝐺≌△𝐹𝐴𝐻(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐻=𝐺𝑃=√3𝑡−4√3，
∴𝑂𝐻=|𝐴𝐻−𝐴𝑂|=|√3𝑡−4√3−4|， ∴𝐸𝐹=|√3𝑡−4√3−4|．
综上所述：𝐸𝐹=|4√3−√3𝑡−4|或|√3𝑡−4√3−4|． (3)如图，过点𝑃作𝑃𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻，连接𝑃𝑂，
∵𝐴𝑂=𝐵𝑂，𝐵𝐾=𝐴𝐶， ∴𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐶≌𝑅𝑡△𝐵𝑂𝐾(𝐻𝐿)， ∴∠𝐴𝐶𝑂=∠𝐵𝐾𝑂=30°，
∵∠𝑃𝐻𝐵=∠𝐵𝑂𝐾=90°，∠𝑃𝐵𝐻=∠𝐾𝐵𝑂， ∴∠𝐵𝑃𝐻=∠𝐵𝐾𝑂=30°， ∴𝑃𝐻=√3𝐵𝐻，
∵∠𝑃𝐵𝑂=∠𝐵𝑂𝐾+∠𝐵𝐾𝑂=120°，∠𝑃𝐴𝑂=∠𝐴𝑂𝐶+∠𝐴𝐶𝑂=120°， ∴∠𝑃𝐵𝑂=∠𝑃𝐴𝑂， ∵𝐴𝑂=𝐵𝑂，
∴∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐵𝐴𝑂=45°，点𝑂在𝐴𝐵的中垂线上， ∴∠𝑃𝐵𝐴=∠𝑃𝐴𝐵=75°， ∴𝑃𝐴=𝑃𝐵， ∴点𝑃在𝐴𝐵的中垂线， ∴𝑃𝑂是𝐴𝐵的中垂线， 又∵𝑂𝐴=𝑂𝐵，
∴∠𝑃𝑂𝐻=∠𝑃𝑂𝐴=45°， ∴∠𝐻𝑃𝑂=∠𝑃𝑂𝐻=45°， ∴𝑃𝐻=𝑂𝐻，
∴𝑂𝐻=√3𝐵𝐻=4+𝐵𝐻，
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∴𝐻𝐵=2√3+2， ∴𝑃𝐻=𝑂𝐻=6+2√3， ∴点𝑃(−6−2√3,6+2√3).
【解析】(1)由直角三角形的性质可得𝐴𝐶=2𝐴𝑂=8；
(2)分两种情况讨论，由“𝐴𝐴𝑆”可证△𝐴𝑃𝐺≌△𝐹𝐴𝐻，可得𝐴𝐻=𝐺𝑃，即可求解； (3)先证𝑂𝑃是𝐴𝐵的垂直平分线，可得∠𝑃𝑂𝐻=∠𝑃𝑂𝐴=45°=∠𝑂𝑃𝐻，可得𝐻𝑂=𝐻𝑃，由线段关系可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
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