轴对称

10.1 生活中的轴对称

【学习目标】能初步认识轴对称图形，并能用概念判断一个图形是否是轴对称图形

【自学指导】

自学教材第80页到第82页，从中你发现：

① 这样的图形叫 轴对称图形， 叫对称轴

② 两个图形成 轴对称， 叫做对称点

由上可知，轴对称图形沿 折叠后 完全重合，所以它们的对应线段 ， 对应角 。

【例 题】1.判读下列图形是不是轴对称图形？

2．0到9十个数字中，哪些是轴对称图形？

3. 圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？

【基础训练】 一．选择题

1. 下列平面图形中，不是轴对称图形的是 （ ）

(A) (B) (C)

2. 下列英文字母属于轴对称图形的是 ( )

(A) N (B) S (C) H (D) K

(D)

3．下列图形:①角②两相交直线③圆④正方形,其中轴对称图形 ( )

(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个

二．填空题

4.长方形的对称轴有_________________条.

5.等边三角形的对称轴有 条

【选做题】

1.下列各对字母中，前后不能构成对称关系的有（ ）对 ① AA ② BB ③ CC ④ EE ⑤ HH ⑥ LL A 1 B 2 C 3 D 4

2．①正方形②等腰三角形③长方形④圆⑤等边三角形都是轴对称图形，按对称轴由少到多的顺序排列是（ ）

A ①③②⑤③ B ①②③④⑤ C ②③⑤①④ D ④①⑤③②

【思考题】

小强从镜子中看到的电子表的读数是 15 ： 01 ，则电子表的实际读数是________。

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10.2轴对称的认识（1）——线段的垂直平分线

【学习目标】知道线段是轴对称图形，并准确掌握线段的垂直平分线的定义和性质

【自学指导】请认真阅读书本第84页至85页的内容 通过你的学习，你从中发现：

① 叫做线段的垂直平分线 ②线段垂直平分线上的点 相等

【例 题】 阅读书本第84页例题1，并仿照例1解答下题

1.如图，△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB、 BC于点E、D.BE=8，

求△BCE的周长. (请参看书中图形)

2. 如图所示，直线MN和DE分别是线段 AB、BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和 PC相等吗?为什么?

【基础训练】

1. 如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ）

A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C>2∠B ．∠B+∠ADE=90°

2. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，AD分∠CAD：∠DAB=2：1，•则∠B的度数为（ ） A．20° B．22.5° C．25° D．30°

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，BC的中垂线交斜边AB于D，

图中相等的线段有（ ） A、1组 B、2组 C、3组 D、4组

4．线段的 任意一点到线段两端点的距离相等 5．若PA=PB，DA=DB，则PD是AB的

6．已知M、N是线段AB的垂直平分线上任意两点，则∠MAN和∠MBN之间的关系是 7．作图题: 如图所示，△ABC中，在AB上找一点P，使PB=PC．（•保留作图痕迹）

【选做题】

如图，在△ABC中，AC=8cm，ED垂直平分AB，如果△EBC的周长是14cm，那么BC•的长度为_________．

【思考题】

如图，A、B、C三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展需要，现三镇联合建造一所变电站。要求变电站到三镇的距离相等。请你作出变电站的位置（用P点表示，并说明你的理由。 ·A

·B

·C

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10.2轴对称的认识（2）——角的平分线

【学习目标】

知道角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，掌握角平分线的性质

【自学指导】 请阅读书本第85页内容 通过你的自学,你知道了:

① 角是 图形,它的对称轴是 ② 角的平分线上的点 相等

【例 题】

1.如图所示，在△ABC中，∠C＝ 90°，BD是角平分线，交AC于点D，DE⊥AB，垂足为点E，AD＝3DE. AD和DC是什么关系?为什么?

2．如图，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥ AB，那么(1)DE和DC相等吗?为什么? (2)AE和AC相等吗?为什么?

【基础训练】

1. 到一个角的两边距离相等的点在 ;角平分线上的点到这个角的两边的距离

2. 若点P在∠AOB的平分线上，它到OA的距离为3cm，则它到OB的距离为_______

3. 已知如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿着过点B的一条直线BE折叠△ABC，• 使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于_______．

4．P在∠MON的角平分线上，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，若OA=6cm,OP=10cm，那么则PB= .

5．如图所示，PD=PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则下列结论中错误的是（ ）．

A．∠DOP=∠EOP B．OD=OE C．∠DPO=∠EPO D．PD=OD

6. 下列各点中到三角形各边的距离相等的是（ ）

A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条高线的交点 C．三角形三条垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点

7．如图，作α的补角，然后再画这两个角的平分线．并说出你所发现的结

【选做题】

1.在三角形内部到三边距离相等的点有______个，•而在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点共有_______个

2. 如图，已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【思考题】

如图,直线L1，L2，L3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，•要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）

A．一处 B．二处 C．三处 D．四处

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10.2轴对称的认识（3）

【学习目标】 能熟练画出轴对称图形的对称轴，能作出简单平面图形经过一次对称后的图形

【自学指导】请阅读书本第86页至第90页，并写出你通过阅读所得到的结论：

【例 题】

1．请你标出图中，A、B、C三点的对称点。 A

B

2.试着画出下边两个图形的对称轴。

请用折叠的方法检验所画的对称轴是否准确，如果准确的话，请你总结方法：

首先找出轴对称图形的 ，连结 ，其次画

所连线段的 ，就得到该图形的对称轴。

3. 实线所构成的图形为已知图形，虚线为对称轴，请画出已知图形的轴对称图形。

你可以通过什么方法来验证你画的是否正确?

【基础训练】

1. 画出以下图形的对称轴

2. 下面的虚线，哪些是图形的对称轴，哪些不是?

3．已知△ABC和直线MN.

求作：△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称

【选做题】在直线a上找一点C,使A到C后反弹到B

。B

A 。

______________

a

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10.3等腰三角形（1）

【学习目标】了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质

【自学指导】

1. 阅读书本第94页至95页 第一自然段，然后完成下列填空

叫做等腰三角形

等腰三角形中， 叫做腰， 叫做底边， 叫做顶角， 叫做底角

2. 请按照书本第95页的“做一做”要求，完成操作，并在下边填上你发现的结论：

（ 简写成 ） 3.根据书本第95页的“做一做”要求，继续观察你刚才的实验现象，由轴对称的特点，你还可以得出什么结论，请写出来：

请把你得到的结论用一句话可以归结为：

（ 简写成 ）

【例 题】

1.请认真阅读书本第96页例题1，并仿照例题1求出当 “∠B = 70°”时的结论

2. 请认真阅读书本第96页例题2，并仿照例题2在求出当 “∠B = 36°”时的结论

【基础训练】

1. 在△ABC中，AB＝AC,∠B＝80°，则∠C= ，∠A = 2. 在△ABC中，AB＝AC,∠A＝80°，则∠B= ，∠C= 3. 如果AD⊥BC， 那么∠BAD＝∠______，BD＝_______ 4. 如果∠BAD＝∠CAD，那么AD⊥_____，BD＝______

5. 如果BD＝CD， 那么∠BAD＝∠_______，AD⊥______

6. 等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ） A．42° B．60° C． 36° D． 46° 7. △ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC=75°，则∠A的度数是（ ） A.35° B.40° C.70 ° D.110° 8. 等腰三角形的对称轴是（ ）

A．顶角的平分线 B．底边上的高

C．底边上的中线 D．底边上的高所在的直线 9. 一个等腰三角形的一边长是7cm，另一边长是5cm，那么这个等腰三角形的周长是（ ）．

A．12cm B．17cm C．19cm D．17cm或19cm

【选做题】下面是数学课堂上的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题:

学习等腰三角形后，薛老师请同学们讨论这样一个问题上：“已知等腰三角形的两边长分别是7㎝，8㎝，请你求出三角形的周长．”

同学们经片刻思考交流后，李刚同学举手说“三角形的周长为22㎝”；王明同学说：“是23㎝，还有一些同学也提出了不同的看法．．．．．．． 你的意见如何？为什么？

【思考题】

如图，在△ABC中，AB= AC,D是AB的中点，且DE⊥AB，已知△BCE的周长为8，且AC-BC=2, 求AB、BC的长.

ADEBC

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10.3等腰三角形（2）

【学习目标】熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度

【自学指导】

1. 请仔细阅读书本第97页最上方的内容，并填空：

叫做等边三角形 （我们把等边三角形也称做 ） 2.请根据等腰三角形的特点，推导出等边三角形的各内角度数

请把你刚才求出的结论用文字总结如下：

等边三角形是轴对称图形吗？ ，若是，有 条对称轴。 【例 题】

在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠1＝30°， 求∠ABC和∠ADC的度数

本题若将D是BC边上的中点这一条件改为AD为等腰三角形顶角平分线或底边BC上的高线，其它条件不变，计算的结果是否一样?

【基础训练】

1. 1．判断下列命题，对的打“√”，错的打“×”。 a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合( )

b．有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°( )

2. △ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

A3. 如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；•③△ADE的周长等于

FAB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（ ） DEA．①②③ B．①②③④ C．①② D．① CB4. △ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则AB：BC=_________． 5. △ABC中，∠C=∠B，D、E分别是AB、AC上的点，•AE=•2cm，•且DE•∥BC，•则AD=______ 6. 已知AD是△AB C的外角∠EAC的平分线，要使AD•∥BC，•则△ABC•的边一定满足________．

7. △ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D、E是BC上的点，∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中等腰三角形有______个 （需要自己画图理解哦）

8．如图所示，∠AOB是一个钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF，FG，GH，„，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管______根．

【选做题】

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线 BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合 条件的点P共有 个

【思考题】

如图，现有顶角度数互不相同的等腰三角形（AB=AC）纸片（a图、b图、c图、d图）各一块，其中有的能从一个底角的顶点出发，将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片。 （1）能剪成两块等腰三角形的纸片是 ，并用尺规在选中的图上作出你的剪痕（用虚线表示），虚线另一端标上字母T。

（2）将所选图中的相等线段填写在下列对应的横线上（未选中的不要填写，线段相等用等式表示，AB=AC除外）：

a图； ，b图 ，c图 ，d图 ； A C A B A

C A B B C

B

C 东北师大附属实验学校七年级（下）数学学案（）

10.3等腰三角形（3）

【学习目标】能利用一个三角形是等腰三角形的条件，正确判断某个三角形是否为等腰三角形

【自学指导】

1.如果一个三角形有 条边相等，我们就可判断它是等腰三角形 （根据定义） 2.请按照书本第98页“做一做”操作，并把你发现的结论写出来：

（简写成： ） 【例 题】

请仔细阅读书本第98页例题3，并仿照例题3求出当“∠A = 50°，∠B = 65°”时的结论

思考：

⑴ 三个角都是60°的三角形是等边三角形吗?你能说明理由吗?

⑵ 等腰直角三角形：顶角是 的 三角形是等腰直角三角形 ⑶ 你能说出等腰直角三角形各角的大小吗?

⑷ 请你画一个等腰直角三角形，使∠C＝90°，CD是底边上的高，数一数图中共有

几个等腰直角三角形?

【基础训练】 1. 填空题：

（1）在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B= 。 （2）在一个三角形中，等角对 ；等边对 。

A （3）如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的 各内角的度数是 。

（4）如图，AB=AC，BD平分∠ABC，且∠C=2∠A， B

则图中等腰三角形共有 个。

D C

2. 若△ABC的三边ａ、ｂ、ｃ满足(ab)(bc)(ca)0那么△ABC的形状是（ ）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、锐角三角形

3. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，∠ADB=72°， A E DE平分∠ADB，则图中等腰三角形的个数是（ ）

A、3 B、4 C、5 D、6

B C

D

4. 如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点O，且OB=OC，请说明AB=AC的理由。 A

O B C 【选做题】

等腰三角形底边长为10cm，从底边的一个端点引腰上的中线，分此三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长4cm，求等腰三角形的腰长。

小慧解得腰长为6cm，亲爱的同学，你认为小慧做的结果对吗？如果你认为不对，那么你是怎么解的呢？

【思考题】将不一样的两个等边△ABC和等边△DEF任意摆放，请你画出不少于5种的摆放示意图。使得AE=CF，同时满足在重合的一条直线上有且只有三个顶点（重合的顶点算一个），并说明理由。