余弦定理的六种证法

法一(平面几何)：在△ABC中，已知ACb,BCa,及C，求c。

过A作ADBC于D，是AD＝ACsinCBCsinC，

CDACcosbcosc,

B C A 在RtABD中，AB2AD2BD2(bsinc)2(abcosc)2a2b22abcosc，

法二（平面向量）：

ABAB(ACBC)(ACBC)AC2ACBCBCAC2|AC||BC| cos(180B)BCb22abcosBa2，即：c2a2b22abcosc

2222法三（解析几何）：把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于△ABC的AC=b，

CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)．

|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2 =a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C =a2+b2－2abcosC， 即c2=a2+b2－2abcosC．

法四（利用正弦定理）：

先证明如下等式：sinAsinBsinC2sinAsinBcosC ⑴ 证明：sinAsinBsinC

2222221cos2A1cos2B1cos2C22211cos2Ccoos2Acos2B222cosABcosABcosC

cosCcosABcosAB2sinAsinBcosC故⑴式成立，再由正弦定理变形，得

a2RsinA b2RsinBc2RsinC结合⑴、(2)有

(2)

a2b2c24R2sin2Asin2Bsin2C



4R22sinAsinBcosC2abcosC.即 cab2abcosC.

同理可证 abc2bccosA；bca2cacosB.

222222222法五（用相交弦定理证明余弦定理）:

如图，在三角形ABC中，∠A=α，AB=a，BC=b，AC=c。现在以B为圆心，以长边AB为半径做圆，这里要用长边的道理在于，这样能保证C点在圆内。BC的延长线交圆B于点D和E

这样以来，DC=a-b，CE=a+b，AC=c。因为AG=2acosα，所以CG=2acosα-c。根据相交弦定理有： DC×CE=AC×CG，带入以后就是

(a-b)(a+b)=c(2acosα-c)

化简以后就得b2=a2+c2+2accosα。也就是我们的余弦定理。

法六（面积解释）：

如图9，以△ABC的三边为边长向外作三个正方形，说欧几里德就是利用此图形证明勾股定理的。易证旋转而成)，进而可得；同理形面积等于两直角边上两正方形面积之和。

，

(最好是将

交AB于K。据看作是

，所以直角三角形斜边上的正方

此处还有一个副产品：影定理。

等价于，无需用到相似，轻松可得射

图9 图10

假若不是直角三角形呢？如图10，△ABC的三高的延长线将三个正方形分为6个矩形，而且两两相等，

，

，

，轻松可得余弦定理。

例1：证明余弦定理。

勾股定理只是对于直角三角形成立，很有必要将之推广到一般三角形的情形，这样在使用的时候才方便。在第一章中已经介绍了面积法证明余弦定理了，下面再介绍三种面积证法。

证明勾股定理主要用到平移，而证明余弦定理则可能需要用旋转。 余弦定理证明1：如图1，将△ABC绕点B旋转一个较小角度

；由面积关系得

得到△DBE，则

，则

，即

，

即

，化简得。

图1 图2

如果认为证法1较麻烦，也还有简单的证法。 余弦定理证明2：只要注意到马可得

。

，

，立

余弦定理证明3：如图3，在△ABC中，设三边长度为a，b，c，在AB边上取点E，使得在AB边上取点D，使得

得

；易得△AEC∽△CDB∽△ACB，

；由

；

，

化简得

。

图3