高考数学讲义复数.知识框架

复数

模块框架

高考要求

复数的基本概念，复数相等的条件 复数的代数表示法及几何意义 复数代数形式的四则运算 复数代数形式加减法的几何意义 要求层次 B A C A 了解数系的扩充的基本过程与复数的概念； 掌握复数的几何意义与复数的代数形式的四则运算法则 重难点 数系的扩充与复数的引入 知识内容

一、复数的概念

1.虚数单位i:

(1)它的平方等于1，即i21;

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. (3)i与－1的关系:

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i就是1的一个平方根，即方程x21的一个根，方程x21的另一个根是-i. (4)i的周期性：

i4n1i, i4n21, i4n3i, i4n1.

实数a(b0)2．数系的扩充：复数abi 纯虚数bi(a0)虚数abi(b0)非纯虚数abi(a0)3.复数的定义：

形如abi(a,bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫 做复数集，用字母C表示

4.复数的代数形式:

复数通常用字母z表示，即zabi(a,bR)，把复数表示成abi的形式，叫做复数的代数形式.

5.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：

对于复数abi(a,bR)，当且仅当b0时，复数abi(a,bR)是实数a；当b0时，复数zabi叫做虚数；当a0且b0时，zbi叫做纯虚数；当且仅当ab0时，z就是实数0

6.复数集与其它数集之间的关系：

NZQRC

7.两个复数相等的定义：

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a，b， c，dR，那么abicdiac,bd

二、复数的几何意义

1.复平面、实轴、虚轴：

复数zabi(a,bR)与有序实数对a,b是一一对应关系.建立一一对应的关系.点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数zabi(a,bR)可用点Za,b表示，

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这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.

2.对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0,0，它所确定的复数是z00i0表示是实数.

除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 3.

一一对应复平面内的点Z(a,b) 复数zabi这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.

三、复数的四则运算

1.复数z1与z2的和的定义：

z1z2abicdiacbdi

2.复数z1与z2的差的定义：

z1z2abicdiacbdi

3.复数的加法运算满足交换律:z1z2z2z1

4.复数的加法运算满足结合律:(z1z2)z3z1(z2z3) 5.乘法运算规则：

设z1abi，z2cdi(a、b、c、dR)是任意两个复数， 那么它们的积z1z2abicdiacbdbcadi

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 6.乘法运算律：

(1)z1z2z3z1z2z3 (2)(z1z2)z3z1(z2z3) (3)z1z2z3z1z2z1z3 7.复数除法定义：

满足cdixyiabi的复数xyi(x、yR)叫复数abi除以复数cdi的商，记为：(abi)cdi或者8.除法运算规则：

abi cdi 3

设复数abi (a、bR)，除以cdi (c，dR)，其商为xyi（x、yR)， 即(abi)cdixyi∵xyicdicxdydxcyi ∴cxdydxcyiabi

acbdx,22cxdya,cd由复数相等定义可知解这个方程组，得

dxcyb.ybcad.c2d2于是有: (abi)cdiacbdbcadi

c2d2c2d2abi的分母有理化得： cdi②利用cdicdic2d2于是将原式abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i cdi(cdi)(cdi)c2d2(acbd)(bcad)iacbdbcad2i.

c2d2cd2c2d2acbdbcadi c2d2c2d2∴((abi)cdi点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数cdi与复数cdi，相当于我们初中学习的32的对偶式32，它们之积 为1是有理数，而cdicdic2d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法. 9.共轭复数：

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.

<教师备案>近年来高考对复数知识的考查都比较简单，基本都在选择的前四题或者填空题的第一\\二道，新课标中，文理都要学习复数，但是只学习复数的代数形式与加法乘除运算，不再学习复数的三角形式．

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