带电粒子在电磁场场中的运动

带电粒子在电磁场场中的运动

云南省丽江市永胜县第三中学 钟建荣

1．掌握带电粒子在复合场中运动的基本分析；

2．熟练复合场中的特殊物理模型的应用。

一、复合场的分类

1．复合场：即电场与磁场有明显的界线，带电粒子分别在两个区域内做两种不同的运动，即分段运动，该类问题运动过程较为复杂，但对于每一段运动又较为清晰易辨，往往这类问题的关键在于分段运动的连接点时的速度，具有承上启下的作用。

2．叠加场：即在同一区域内同时有电场和磁场，此类问题看似简单，受力不复杂，但仔细分析其运动往往比较难以把握。

二、带电粒子在复合场中运动的基本分析

1．带电粒子在电场中的运动

（1）带电粒子在电场中的加速

在匀强电场中的加速问题 一般属于物体受恒力（重力一般不计）作用运动问题。处理的方法有两种：

①根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解

②根据动能定理与电场力做功，运动学公式结合求解。

基本方程：

在非匀强电场中的加速问题 一般属于物体受变力作用运动问题。处理的方法只能根据动能定理与电场力做功，运动学公式结合求解。 基本方程：

（2）带电粒子在电场中的偏转

设极板间的电压为U，两极板间的距离为，极板长度为。

运动状态分析：带电粒子垂直于匀强电场的场强方向进入电场后，受到恒定的电场力作用，且与初速度方向垂直，因而做匀变速曲线运动──类似平抛运动如图。

运动特点分析：

在垂直电场方向做匀速直线运：

在平行电场方向，做初速度为零的匀加速直线运动：

通过电场区的时间： 粒子通过电场区的侧移距离：

粒子通过电场区偏转角：

带电粒子从极板的中线射入匀强电场，其出射时速度方向的反向延长线交于入射线的中点。所以侧移距离也可表示为：

2．带电粒子在磁场中的运动

（1）带电粒子在磁场中运动时，若速度方向与磁感线平行，则粒子不受磁场力，做匀速直线运动；

即：① 为静止状态。

② 则粒子做匀速直线运动。

（2）若速度方向与磁感线垂直，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力起

向心力作用。

根据向心力公式：， 得运动轨道半径公式：。

可见，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与带电粒子的动量及磁场和带电粒子的带电量有关。

又根据：， 得运动周期公式：。

动能公式：。

可见，带电粒子在匀强磁场中的转动周期T与带电粒子的质量和电量有关，与磁场的磁感应强度有关，而与带电粒子的速度大小无关。

带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其转过圆弧对应的圆心角越大，运动时间就越长，时间与圆心角成正比。

T或、的两个特点：

T、和的大小与轨道半径（R）和运行速率（）无关，只与磁场的磁感应强度（B）

和粒子的荷质比（和相同。

）有关。荷质比（

）相同的带电粒子，在同样的匀强磁场中，、

（3）若速度方向与磁感线成任意角度，则带电粒子在与磁感线平行的方向上做匀速直线运动，在与磁感线垂直的方向上做匀速圆周运动，它们的合运动是螺线运动。

与B成（角，，则粒子做等距螺旋运动。

（4）解题思路及方法

①圆心的确定：因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场的两点）的F的方向，沿两个洛伦兹力F画出延长线，两延长线的交点即为圆心。或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置。

②半径的确定和计算：利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角）。并注意以下两个重要的几何特点（如图所示）：

A．粒子速度的偏向角等于回旋角，并等于AB线与切线的夹角（弦切角φ）的2倍，即：

；

B．相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角互补，即：。

③粒子在磁场中运动时间的确定：利用回旋角（即圆心角α）与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，由公式

可求出粒子在磁场中的

运动时间。

三、复合场中的特殊物理模型

1．粒子速度选择器

如图所示，粒子经加速电场后得到一定的速度v0，进入正交的电场和磁场，受到的电场力与洛伦兹力方向相反，若使粒子沿直线从右边孔中出去，则有qv0B＝qE，v0=E/B，若v= v0=E/B，粒子做直线运动，与粒子电量、电性、质量无关

若v＜E/B，电场力大，粒子向电场力方向偏，电场力做正功，动能增加。

若v＞E/B，洛伦兹力大，粒子向磁场力方向偏，电场力做负功，动能减少。

例1．如图所示，带电平行板中匀强磁场方向水平垂直纸面向里，某带电小球从光滑绝缘轨道上的a点自由滑下，经过轨道端点P进入板间后恰能沿水平作直线运动。现使小球从较低的b点开始下滑，经P点进入板间，在板间的运动过程中（ ）

A．其动能将会增大

B．其电势能将会增大

C．小球所受的洛伦兹力将会增大

D．小球受到的电场力将会增大

2．磁流体发电机

如图所示，由燃烧室O燃烧电离成的正、负离子（等离子体）以高速。喷入偏转磁场B中。在洛伦兹力作用下，正、负离子分别向上、下极板偏转、积累，从而在板间形成一个向下的电场。两板间形成一定的电势差。当qvB=qU/d时电势差稳定U＝dvB，这就相当于一个可以对外供电的电源。

例2．目前，世界上正在研究一种新型发电机叫磁流体发电机。如图所示表示了它的发电原理：将一束等离子体垂直于磁场方向喷入磁场，在磁场中有两块金属板A、B，这时金属板上就会聚集电荷，产生电压。如果射入的等离子体速度均为v，两金属板的板长为L，板间距离为d，板平面的面积为S，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于速度方向，负载电阻为R，等离子体充满两板间的空间。当发电机稳定发电时，电流表示数为I，那么板间等离子体的电阻率为（ ）

A． B．

C． D．

3．电磁流量计

电磁流量计原理可解释为：如图所示，一圆形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向左流动．导电液体中的自由电荷（正负离子）在洛伦兹力作用下纵向偏转，a、b间出现电势差．当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差就保持稳定。

由Bqv=Eq=Uq/d，可得v=U/Bd，流量Q=Sv=πUd/4B。

例3．为了测量某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图所示的流量计，该装置由绝缘材料制成，长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口，在垂直于上下底面方向加磁感应强度为B的匀强磁场，在前后两个内侧固定有金属板作为电极，污水充满管口从左向右流经该装置时，电压表将显示两个电极间的电压U。若用Q表示污

水流量（单位时间内排出的污水体积），下列说法中正确的是（ ）

A．若污水中正离子较多，则前表面比后表面电势高

B．前表面的电势一定低于后表面的电势，与哪种离子多无关

C．污水中离子浓度越高，电压表的示数将越大

D．污水流量Q与U成正比，与A．b无关

4．质谱仪 如图所示

组成：离子源O，加速场U，速度选择器（E，B），偏转场B2，胶片。

原理：加速场中qU=?mv2

选择器中：

偏转场中：d＝2r，qvB2＝mv2/r

比荷：

质量

作用：主要用于测量粒子的质量、比荷、研究同位素。

例4．质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具。它的构造原理如图所示，离子源S产生带电量为q的某种正离子，离子产生出米时的速度很小，可以看作是静止的，离子经过电压U加速后形成离子束流，然后垂直于磁场方向进入磁感应强度为B的匀强磁场，沿着半圆周运动而到达记录它的照相底片P上。实验测得：它在P上的位置到入口处S1的距离为a，离子束流的电流为I。请回答下列问题：

（1）在时间t内射到照相底片P上的离子的数目为________。

（2）单位时间穿过入口处S1离子束流的能量为________。

（3）试求这种离子的质量为多少。

5．回旋加速器 如图所示

组成：两个D形盒，大型电磁铁，高频振荡交变电压，两缝间可形成电压U

作用：电场用来对粒子（质子、氛核，a粒子等）加速，磁场用来使粒子回旋从而能反复加速．高能粒子是研究微观物理的重要手段。

要求：粒子在磁场中做圆周运动的周期等于交变电源的变化周期．

关于回旋加速器的几个问题：

D形盒作用：静电屏蔽，使带电粒子在圆周运动过程中只处在磁场中而不受电场的干扰，以保证粒子做匀速圆周运动。

（2）所加交变电压的频率f = 带电粒子做匀速圆周运动的频率：

（3）最后使粒子得到的能量，，

在粒子电量、质量m和磁感应强度B一定的情况下，回旋加速器的半径R越大，粒

子的能量就越大。

【注意】直线加速器的主要特征。如图所示，直线加速器是使粒子在一条直线装置上被加速。

例5．回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电源两极相连接的两个D形金属盒，两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，如图所示。设D形盒半径为R。若用回旋加速器加速质子时，匀强磁场的磁感应强度为B，高频交流电频率为f。则下列说法正确的是（ ）

A．质子被加速后的最大速度不可能超过2πfR

B．质子被加速后的最大速度与加速电场的电压大小成正比。

C．只要R足够大，质子的速度可以被加速到任意值

D．不改变B和f，该回旋加速器也能用于加速α粒子

四、带电粒子在复合场中运动的轨迹欣赏

1．一滴水珠

例6．如图所示，真空中分布着有界的匀强电场和两个均垂直于纸面，但方向相反的匀强磁场，电场的宽度为L，电场强度为E，磁场的磁感应强度都为B，且右边磁场范围足够大．一带正电粒子质量为m，电荷量为q，从A点由静止释放经电场加速后进入磁场，

穿过中间磁场进入右边磁场后能按某一路径再返回A点而重复上述过程，不计粒子重力，求：

（1）粒子进入磁场的速率v；

（2）中间磁场的宽度d

（3）求粒子从A点出发到第一次回到A点所经历的时间t。

解：（1）由动能定理，有：

得粒子进入磁场的速度为

（2）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，半径都是R，且：

由几何关系可知：

则：中间磁场宽度

（3）在电场中

在中间磁场中运动时间 在右侧磁场中运动时间，

则粒子第一次回到O点的所用时间为

。

2．一朵梅花

例7．如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于

轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为ｍ、带电量为＋q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）

审题：带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d．只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过C．b，再回到S点。

解析：如图所示，设粒子进入磁场区的速度大小为V，根据动能定理，有

设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有：

由上面分析可知，要回到S点，粒子从a到d必经过4圆周，所以半径R必定等于筒的外半径r，即R=r．由以上各式解得：

3．一座“拱桥”

例8．如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E，一质量为m，电量为—q的粒子从坐标原点O沿着y轴正方向射出，射出之后，第三次到达x轴时，它与O点的距离为L，求此时粒子射出时的速度和运动的总路程（重力不记）

解析：画出粒子运动轨迹如图所示，形成“拱桥”图形。

由题知粒子轨道半径R=，

所以由牛顿定律知粒子运动速率为 v==

对粒子进入电场后沿y轴负方向做减速运动的最大路程y由动能定理知：得y=

=qEy，

所以粒子运动的总路程为s=L