金融数学课程论文.

一、二叉树模型中的参数估计

1.1 二叉树参数估计算法原理

想要预测股价二叉树，在知道初始值的前提下，还需要知道模型中的的u和d，但对于一支只知道对应于日期的股票价格，我们应该进行怎样的数据处理呢？下面通过实证数据对二叉树模型中的参数进行估计。 原理：Hull-White算法

令p1，并用如下公式计算u和d: 2ud1t 2(ii)ud2t(i)我们假设：

S1X1S0Sk1Xk1Sk，

这里Xk是的伯努利随机变量，Pr[Sk/Sk1u]Pr[Sk/Sk1d]则我们可以得出ut和2t的合理估计值为：

1n1nU(Xk1)(Sk/Sk11)

nk1nk11 2其中：

1ns[(Sk/Sk11)2nU2]

n1k12，Sn的样本均值和样本方差，U和s2是来自实际市场数据S0、S1、S2，我们可以

1

得出u和的估计值为：

Ut stu 则：

u1ttd1tt

1.2举例应用

我选用中国农业银行2013年的股票价格，具体数据见附件1.

由表可知，U1.00198610.001986,s0.010568，这个二叉树中所用的

t和与数据的t相同，公式u和d可以简化成：

u1Us1.0125 d1Us0.991418

S055.56做4期二叉树图为：

这里的t是一天，我们通过选择更大的时间间隔，令t7，即以一周为一个时间段，则有：

u1U(7)s(7)1.033215 d1U(7)s(7)0.977293

S055.5期二叉树图变为：

2

再t15令即以半个月为一个时间段，则有：

u1U(15)s(15)1.07072

d1U(15)s(15)0.988858

S055.56

4期二叉树图又变为：

由于该题的t可以改变，时间间隔越长，股价“分叉”得更快。

二、 几何布朗运动估计与模拟

2.1几何布朗运动参数估计原理

令S(t)代表某股票在t时刻的价格，由以下公式给出S的模型。 dSSdtSdB

其中，、是常量，B服从布朗运动，而该方程的解就是几何布朗运动。 即：

StS0exp[Bt(2/2)t]

其中，Bt是均值为0，方差为t的正态随机变量，由此得到的就是股价的几何布朗运动模型。我们将采用修正的股价模型对欧式看涨期权进行定价，在此之前，要对股价模型进行参数估计，即波动率和漂移率。

假设我们得到了在一段较长时间[0, T]内的股价数据记录，这段时间由n个长度相等的子区间t组成，再假设我们知道每个子区间末的股价，将股价表示为：

Si：第i个子区间末的股价 样本观测值为n+1个； 令U表示均值，则：

3

Un样本方差用S2表示，则：

1Ui1ni

S(n1)21(Ui1n2iU)

而U的观测值的均值为(2/2)t，方差为2t。 即：

U(2/2)t

S22t 最后算的参数和为：

US2/2 及S/t

t而对于Bt，则需要随机产生一系列标准正态分布，通过累加处理获得计算所需要的值。

也可运用对数正态分布模型,即：

STS0eWT(2/2)T

其中，WT是一个均值为0，方差为T的随机正态分布变量，WT的获取与Bt相仿。

2.2举例应用

我选用中国农业银行2013年的股票价格，具体数据见附件2.

计算股价，先随机生成均值为0，方差为nt的正态分布随机数，而后进行处理生成预测值，结果如下：

而后将预测值与实际值进行比较，得到：

4

根据图可直观地看出，预测值的波动率比较大，整个曲线趋势很不平稳，因此需要进行修正；于是，再随机生成均值为0，方差为1的标准正态分布随机数，而后进行处理生成预测值，结果如下：

而后将预测值与实际值进行比较，得到：

5

由此可以看出，拟合程度还是很好的，可以用来预测未来几期的股票价格。预测未来两个月的股价，结果如下：

三、B-S模型及多期二叉树的期权定价

3.1.B-S期权定价公式：

假设有一股票现价为S0，V是看涨期权的价格，

X执行价T到期时间

股价波动率股价漂移率r无风险利率

看涨期权V值可表示为：VS0N(d1)XerTN(d2) 其中：

6

1xx2/2N(x)P[Zx]edx2

2ln(S0/X)(r/2)Td1T

d2d1T对于欧式看跌期权的价格P，可表示为：

PS0N(d1)XerTN(d2)；

3.2举例应用

我选用了2013年11月16日的执行价，而后通过运用BS公式及多期二叉树计算期权价格的方式，将实际值与两方法的预测值进行比较，而后进行分析，详细数据见附件3。 计算结果数据：

再将预测所得数据与实际值进行拟合比较，得到如下图：

从该图主观地看出，三种期权的价格的趋势基本上一致，拟合程度也比较高，

7

但对来说，BS的拟合程度更好一点。这样相对来说主观了一点，接着对数据进行再一次的处理分析：

最后算的，多期二叉树的预测误差的方差为：0.162756979，而几何布朗运动的预测误差的方差为：0.15752995 ，由此也可以得出，几何布朗运动拟合程度更好一些。

四、对冲

4.1做题思路

计算对冲，即计算值，N(d1)，而d1ln(S0/X)(r2/2)，对一

只股票，在一年的时间里，假设我们每周进行一次对冲，那每周相应的对冲值又该如何计算呢？

在解这个题目时，最重要的计算出S0的值，在第一周时，S0为初始价，但到了第二周，S0有所变动，它的值为：STS0exp(WT(2/2)T)，而对于，其值等于到期时间周数与总周期数的比值。对于WT,先产生随机数，而后再将它转换为正态分布随机数。

4.2举例应用

对于附件2里的数据，T=0.51506849,S0=55.56,X=50,sigma=0.20203053, miu=0.724348005，r=0.04, 假设卖出1000股股票，在这样的情况下，实现对冲为：

8

课程小结：

对于金融数学这门课程，一个多星期的计算机操作，让我惊叹。突然间才发现，这是一门综合性特别强的学科，才明白自己在某些知识点的掌握上拿捏得不是很好，所以做起来还是有一定的挑战性的，可能在学习理论知识的时候，这样的缺陷不是暴露的特别明显。一开始决定编写C语言，是因为自己电脑上安装了这一软件，如果赶不上进度自己可以补一下，最后才发现自己这一举动是那么的正确，因为自己在C这方面学的不扎实，下课后，我还不得不窝在电脑前一次次修改程序，不过看到自己的程序可以完美实现的时候，真的真的特别开心，“废寝忘食”的程序员生活，稍稍体验了一把，才可以懂得他们为什么会有很大的情绪波动。在做这个课程设计的时候，最麻烦的是计算积分与产生正态分布随机变量，这个涉及到了数值计算方法和概率统计的知识，自然，C语言是基础，在计算积分的时候，我运用了复合梯形公式，但在n的取值上遇到了一点问题，不能很好地把握它的取值。在后面进行分析比较时，我运用了统计预测与决策的相关知识。总的来说，这一个星期真的过的特别充实，懂得了时间的概念。但是时间比较紧张，我们要做的内容又比较多，做的还是不够精细。

9

源程序如下： 欧式看涨期权： #include \"stdio.h\" #include \"stdlib.h\" #include \"math.h\" #define N 200 main()

{ int n,k,j;

float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v; float a[N][N+1];

printf(\"请输入初始价s0:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入每期利率i:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入增长因子u:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入下降因子d:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入执行价X:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入期数n:\\n\"); scanf(\"%d\

录10

附

r=exp(-i);

q=(1/r-d)/(u-d); p=1-q;

printf(\"股价二叉树为:\\n\"); for(k=0;k<=n;k++) {

for(j=1;j<=k+1;j++) {

w=pow(u,j-1); v=pow(d,k-j+1); a[k][j]=s0*w*v;

printf(\"%.6lf \ }

printf(\"\\n\"); }

printf(\"期权二叉树为:\\n\"); {

for(j=n+1;j>=1;j--) {

w=pow(u,j-1); v=pow(d,n-j+1); a[k][j]=s0*w*v; if(a[n][j]>X)

a[n][j]=a[n][j]-X; else

a[n][j]=0;

printf(\"%f \ }

printf(\"\\n\");

for(k=n-1;k>=0;k--) {

for(j=k+1;j>=1;j--) {

a[k][j]=r*(p*a[k+1][j]+q*a[k+1][j+1]); printf(\"%.6lf \ }

printf(\"\\n\"); }

printf(\"欧式看涨期权定价为: \"); printf(\"%f \\n\ } }

欧式看跌期权:

11

#include \"stdio.h\" #include \"stdlib.h\" #include \"math.h\" #define N 200 main()

{ int n,k,j;

float s0,i,X,u,d,r,q,p,t, w,v; float a[N][N+1];

printf(\"请输入初始价s0:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入每期利率i:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入增长因子u:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入下降因子d:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入执行价X:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入期数n:\\n\"); scanf(\"%d\ r=exp(-i);

q=(1/r-d)/(u-d); p=1-q;

printf(\"股价二叉树为:\\n\"); for(k=0;k<=n;k++) {

for(j=1;j<=k+1;j++) {

w=pow(u,j-1); v=pow(d,k-j+1); a[k][j]=s0*w*v; printf(\"%f \ }

printf(\"\\n\"); }

printf(\"期权二叉树为:\\n\"); {

for(j=n+1;j>=1;j--) {

w=pow(u,j-1); v=pow(d,n-j+1); a[k][j]=s0*w*v; if(a[n][j]a[n][j]=X-a[n][j];

12

else

a[n][j]=0;

printf(\"%f \ }

printf(\"\\n\");

for(k=n-1;k>=0;k--) {

for(j=k+1;j>=1;j--) {

a[k][j]=r*(p*a[k+1][j]+q*a[k+1][j+1]); printf(\"%f \ }

printf(\"\\n\"); }

printf(\"欧式看跌期权定价为: \"); printf(\"%f \\n\ } }

欧式向上敲出障碍看跌期权： #include \"stdio.h\" #include \"stdlib.h\" #include \"math.h\" #define N 200 main()

{ int n,k,j;

float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,Q; float a[N][N+1];

printf(\"请输入初始价s0:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入每期利率i:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入增长因子u:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入下降因子d:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入执行价X:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入期数n:\\n\"); scanf(\"%d\

printf(\"请输入向上敲出障碍期权Q:\\n\"); scanf(\"%f\ r=exp(-i);

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q=(1/r-d)/(u-d); p=1-q;

printf(\"股价二叉树为:\\n\"); for(k=0;k<=n;k++) {

for(j=1;j<=k+1;j++) {

w=pow(u,j-1); v=pow(d,k-j+1); a[k][j]=s0*w*v; printf(\"%f \ }

printf(\"\\n\"); }

printf(\"期权二叉树为:\\n\"); {

for(j=n+1;j>=1;j--) {

w=pow(u,j-1); v=pow(d,n-j+1); a[k][j]=s0*w*v;

if(a[n][j]a[n][j]=0;

printf(\"%f \ }

printf(\"\\n\");

for(k=n-1;k>=0;k--) {

for(j=k+1;j>=1;j--) {

if(a[k][j]a[k][j]=r*(p*a[k+1][j]+q*a[k+1][j+1]); else

a[k][j]=0;

printf(\"%f \ }

printf(\"\\n\"); }

printf(\"欧式向上敲出障碍看跌期权定价为: \"); printf(\"%f \\n\ } }

14

欧式向上敲出障碍看涨期权： #include \"stdio.h\" #include \"stdlib.h\" #include \"math.h\" #define N 200 main()

{ int n,k,j;

float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,Q; float a[N][N+1];

printf(\"请输入初始价s0:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入每期利率i:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入增长因子u:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入下降因子d:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入执行价X:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入期数n:\\n\"); scanf(\"%d\

printf(\"请输入向上敲出障碍期权Q:\\n\"); scanf(\"%f\ r=exp(-i);

q=(1/r-d)/(u-d); p=1-q;

printf(\"股价二叉树为:\\n\"); for(k=0;k<=n;k++) {

for(j=1;j<=k+1;j++) {

w=pow(u,j-1); v=pow(d,k-j+1); a[k][j]=s0*w*v; printf(\"%f \ }

printf(\"\\n\"); }

printf(\"期权二叉树为:\\n\"); {

for(j=n+1;j>=1;j--) {

w=pow(u,j-1);

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v=pow(d,n-j+1); a[k][j]=s0*w*v;

if(a[n][j]>X&&a[n][j]a[n][j]=0;

printf(\"%f \ }

printf(\"\\n\");

for(k=n-1;k>=0;k--) {

for(j=k+1;j>=1;j--) {

if(a[k][j]a[k][j]=r*(p*a[k+1][j]+q*a[k+1][j+1]); else

a[k][j]=0;

printf(\"%f \ }

printf(\"\\n\"); }

printf(\"欧式向上敲出障碍看涨期权定价为: \"); printf(\"%f \\n\ } }

欧式向下敲出障碍看跌期权： #include \"stdio.h\" #include \"stdlib.h\" #include \"math.h\" #define N 200 main()

{ int n,k,j;

float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,Q; float a[N][N+1];

printf(\"请输入初始价s0:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入每期利率i:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入增长因子u:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入下降因子d:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入执行价X:\\n\");

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scanf(\"%f\

printf(\"请输入期数n:\\n\"); scanf(\"%d\

printf(\"请输入向下敲出障碍期权Q:\\n\"); scanf(\"%f\ r=exp(-i);

q=(1/r-d)/(u-d); p=1-q;

printf(\"股价二叉树为:\\n\"); for(k=0;k<=n;k++) {

for(j=1;j<=k+1;j++) {

w=pow(u,j-1); v=pow(d,k-j+1); a[k][j]=s0*w*v; printf(\"%f \ }

printf(\"\\n\"); }

printf(\"期权二叉树为:\\n\"); {

for(j=n+1;j>=1;j--) {

w=pow(u,j-1); v=pow(d,n-j+1); a[k][j]=s0*w*v;

if(a[n][j]Q) a[n][j]=X-a[n][j]; else

a[n][j]=0;

printf(\"%f \ }

printf(\"\\n\");

for(k=n-1;k>=0;k--) {

for(j=k+1;j>=1;j--) {

if(a[k][j]>Q)

a[k][j]=r*(p*a[k+1][j]+q*a[k+1][j+1]); else

a[k][j]=0;

printf(\"%f \ }

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printf(\"\\n\"); }

printf(\"欧式向下敲出障碍看跌期权定价为: \"); printf(\"%f \\n\ } }

欧式向下敲出障碍看涨期权： #include \"stdio.h\" #include \"stdlib.h\" #include \"math.h\" #define N 200 main()

{ int n,k,j;

float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,Q; float a[N][N+1];

printf(\"请输入初始价s0:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入每期利率i:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入增长因子u:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入下降因子d:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入执行价X:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入期数n:\\n\"); scanf(\"%d\

printf(\"请输入向下敲出障碍期权Q:\\n\"); scanf(\"%f\ r=exp(-i);

q=(1/r-d)/(u-d); p=1-q;

printf(\"股价二叉树为:\\n\"); for(k=0;k<=n;k++) {

for(j=1;j<=k+1;j++) {

w=pow(u,j-1); v=pow(d,k-j+1); a[k][j]=s0*w*v; printf(\"%f \ }

printf(\"\\n\");

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}

printf(\"期权二叉树为:\\n\"); {

for(j=n+1;j>=1;j--) {

w=pow(u,j-1); v=pow(d,n-j+1); a[k][j]=s0*w*v;

if(a[n][j]>X&&a[n][j]>Q) a[n][j]=a[n][j]-X; else

a[n][j]=0;

printf(\"%f \ }

printf(\"\\n\");

for(k=n-1;k>=0;k--) {

for(j=k+1;j>=1;j--) {

if(a[k][j]>Q)

a[k][j]=r*(p*a[k+1][j]+q*a[k+1][j+1]); else

a[k][j]=0;

printf(\"%f \ }

printf(\"\\n\"); }

printf(\"欧式向下敲出障碍看涨期权定价为: \"); printf(\"%f \\n\ } }

美式看跌期权： #include \"stdio.h\" #include \"stdlib.h\" #include \"math.h\" #define N 100 main()

{ int n,k,j;

float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,T; float a[N][N+1];

printf(\"请输入初始价s0:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入每期利率i:\\n\");

19

scanf(\"%f\

printf(\"请输入增长因子u:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入下降因子d:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入执行价X:\\n\"); scanf(\"%f\

printf(\"请输入期数n:\\n\"); scanf(\"%d\ r=exp(-i);

q=(1/r-d)/(u-d); p=1-q;

printf(\"股价二叉树为:\\n\"); for(k=0;k<=n;k++) {

for(j=1;j<=k+1;j++) {

w=pow(u,j-1); v=pow(d,k-j+1); a[k][j]=s0*w*v; printf(\"%f \ }

printf(\"\\n\"); }

printf(\"期权二叉树为:\\n\"); {

for(j=n+1;j>=1;j--) {

w=pow(u,j-1); v=pow(d,n-j+1); a[k][j]=s0*w*v; if(a[n][j]a[n][j]=X-a[n][j]; else

a[n][j]=0;

printf(\"%f \ }

printf(\"\\n\");

for(k=n-1;k>=0;k--) {

for(j=k+1;j>=1;j--) {

T=X-a[k][j];

a[k][j]=r*(p*a[k+1][j]+q*a[k+1][j+1]);

20

if(Ta[k][j]=T;

printf(\"%f \ }

printf(\"\\n\"); }

printf(\"美式看跌期权定价为: \"); printf(\"%f \\n\ } }

欧式看涨期权BS价格： #include #include #define d -1000

#define pi 3.1415926 double f(double x) {

return exp(-x*x/2); }

double N(double b,double a,int n) {

double h,s1,s,s2=0; int k;

for(k=1;kh=(b-a)/n; s1=a+k*h; s2=f(s1)+s2; }

s=1/sqrt(2*pi)*h/2*(f(a)+2*s2+f(b)); return (s); }

main() {

double s0,X,t,p,r,d1,d2,v; int n;

printf(\"请输入股票初始价格s0:\\n\"); scanf(\"%lf\

printf(\"请输入执行价X:\\n\"); scanf(\"%lf\

printf(\"请输入以年为单位的到期时间t:\\n\");

21

scanf(\"%lf\

printf(\"请输入波动率p:\\n\"); scanf(\"%lf\

printf(\"请输入无风险利率r:\\n\"); scanf(\"%lf\

d1=(log(s0/X)+(r+p*p/2)*t)/(pow(t,0.5)*p); d2=d1-p*pow(t,0.5);

printf(\"d1的值为:%lf\\n\ printf(\"d2的值为:%lf\\n\

printf(\"请输入合适划分的等份数n:\\n\"); scanf(\"%d\

v=s0*N(d1,d,n)-X*exp(-r*t)*N(d2,d,n);

printf(\"欧式看涨期权BS价格为：%lf\\n\ return 0; }

欧式看跌期权BS价格： #include #include #define d -1000

#define pi 3.1415926 double f(double x) {

return exp(-x*x/2); }

double N(double b,double a,int n) {

double h,s1,s,s2=0; int k;

for(k=1;kh=(b-a)/n; s1=a+k*h; s2=f(s1)+s2; }

s=1/sqrt(2*pi)*h/2*(f(a)+2*s2+f(b)); return (s); }

main() {

double s0,X,t,p,r,d1,d2,v; int n;

printf(\"请输入股票初始价格s0:\\n\"); scanf(\"%lf\

22

printf(\"请输入执行价X:\\n\"); scanf(\"%lf\

printf(\"请输入以年为单位的到期时间t:\\n\"); scanf(\"%lf\

printf(\"请输入波动率p:\\n\"); scanf(\"%lf\

printf(\"请输入无风险利率r:\\n\"); scanf(\"%lf\

d1=(log(s0/X)+(r+p*p/2)*t)/(pow(t,0.5)*p); d2=d1-p*pow(t,0.5);

printf(\"d1的值为:%lf\\n\ printf(\"d2的值为:%lf\\n\

printf(\"请输入合适划分的等份数n:\\n\"); scanf(\"%d\

v=-s0*N(-d1,d,n)+X*exp(-r*t)*N(-d2,d,n); printf(\"欧式看跌期权BS价格为：%lf\\n\ return 0; }

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