广东省罗定市廷锴纪念中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题

一、选择题（共8题，每题5分，共40分） 1.复数z34i的虚部为（ ）

A．３ B．34i C．4i D．4

f1＋Δx－f1

2．设函数f(x)可导，则 lim 等于( )．

3ΔxΔx→0

1

A． f′(1) B．3 f′(1) C. f′(1) D．f′(3)

3

3.在曲线yx36x上的一点P（2，－4）处切线的斜率是（ ） A．2 B. ４ C.６ D.10

4．在用数学归纳法证明1＋a＋a＋„＋a等式左边为( )

A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3

5．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告．要求2个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有( ) A．120种 B．72种 C．36种 D．18种

6．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)＜2 (x∈R)，则不等式f(x)>2x＋1的解集为( ) A．(1，＋∞) B．(－∞，1)

C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

7.曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是（ ） A．5 B．25 C．35 D．0

A1 D1 B1 2

n+1

1－an2

＝(a≠1，n∈N*)时，在验证当n＝1时，

1－a

＋

C1

8. ABCD-A1B1C1D1是单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是AA1→A1D1，„，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1，„，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（i∈N*），设黑白蚂蚁都爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，则此时黑白蚂蚁的距离是（ ） A．2 B．1 C．0 D．3

二、填空题（共6题，30分） 9.若复数zD A B C 2(2i)，则复数z的模z ___ 13i

10．以初速度40m/s垂直向上抛一物体，第t秒时的速度（单位：m/s）为u=40-10t，t秒后此物体达到最高，最大高度是 ___ m

a1＋a2＋„＋an11．若数列{an}是等差数列，则有数列{bn}bn＝

n也是等差数列．类比上述性质， 相应地，若数列{cn}为等比数列，且cn>0(n∈N*)，则dn＝________时，{dn}也是等比数列

12.直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是_____

13.已知函数f(x)x2

a(x0,aR)在（0,2）上为减函数，则a取值范围为_____x

14. 为如图所示的四块区域涂色，要求相邻区域不能同色，现有3种不同颜色可供选择，则共有_______种不同涂色方案（要求用具体数字作答）. 14题

三、解答题（共6题，80分）

15.（12分）已知复数z(m8m15)(m7m12)i在复平面内表示的点为A，实数m取 什么值或范围时， 1）z为实数？ 2）z为纯虚数？ 3）点A位于第三象限？

16. （12分）设a、b∈R+且a+b=3，求证:1a1b10

22

17.（14分）在数列{an}中，a1=1,an+1=2an2+an(n?N*)2)用数学归纳法加以证明上述猜想。1)求a2,a3,a4的值，并猜想{an}的通项公式an;

18．（14分）已知函数f(x)xbxcxd的图象过点P（0，1），且在点M（1，f（1））处的切线方程为8x－y－3=0.

1）求函数yf(x)的解析式； 2）求函数yf(x)的单调区间. 3223x+ax2+bx+5c在x=1及x=2时取得极值． 32 1）求、b的值； 2）若对于任意的x0,3，都有f(x)>c成立，求c的取值范围． 19.（14分）设函数f(x)=

20.（14分）已知函数

1）求函数yf(x)的单调区间； 2）若函数f(x)在区间

内的最小值为

，求的值.（参考数据

）

，

廷锴纪念中学2014-2015高二第二学期理科数学期中

一、选择题：DACC BBAC

二、填空题：

9.210.8011.nc1c2cn13.12.(2,2)216,14.18

15.解：（1）当m7m120

化简得(m－4)(m－3)=0即m＝3或m＝4时，z为实数； ………4分

2m8m150(m3)(m5)02）当2，

m7m120(m3)(m4)0即m＝5时，z为纯虚数.……8分

3)A在第三象限2m8m150(m3)(m5)03m5 2m7m120(m3)(m4)03m4即316.证明：a,bR 要证1a1b10 即证(1a1b)2(10)2„„2分 即证1a1b21a1b10„„4分

即证(21a1b)252„„7分 即证1abab即证ab25„„9分 4ab3

9„„10分 4ab29)当且仅当a=b时等号成立 而ab(24所以命题得证 „„12分 即证21a1b5„„5分

17.a11,a2a3

2）由1）猜想anan12an2an2分2a12;2a132a21;2a224分a42a322a356分2„„7分 n1证明：①当n=1, a11，符合已知；„„8分 ②当n=k时，假设猜想成立，则ak2„10分 k1

那么，n=k+1时， 22 a2ak k12akk221 k1 4  2(kk 1)12 k1 2 k22(k1)113 n=k+1时，命题成立 综上所述，命题对于nN*都成立„14分

18.解：1）由的图象经过P（0，1），知d=1，

所以f(x)x3bx2cx1 „„1分

„„2分

由在M（1，f（1））处的切线方程是8x－y－3=0，知点Ｍ在切线上，

则f(1)=5； f’(1)=8 „„4分

1bc15bc332bc82bc5b2„„7分 c1故所求的解析式是f(x)x32x2x1 --------8分

f(x)x32x2x1（Ⅱ）f'(x)3x24x1„„9分

(3x1)(x1)令f'(x)0x13,x1

令f'(x)0x13,x1f(x)„„11分 令f'(x)01x13f(x)„„13分 故f(x)x32x2x1的增区间是(,1),(113,)，减区间是(1,3). -----1419.解：（Ⅰ）f'(x)=2x2+2ax+b，„„1分 因为函数在及取得极值，则有，„„2分．

分 ìïf'(1)=2+2a+b=0ï即í'„„4分 ïïîf(2)=8+4a+b=0解得，．„„6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)=23x-3x2+4x+5c， 3f'(x)=2x2-6x+4=2(x-1)(x-2)． 令f'(x)=0,x=1或x=21,2?[0,3] „„8分

f(0)=5c，f(1)=+5c，f(2)=+5c , f(3)=3+5c „„10分 33则当时，的最小值为f(0)=5c．„„11分 ，有f(x)>c恒成立，\\f(x)>c2,f(x)min>c2„„12分 2因为对于任意的2所以 5c>c， 解得 0得

……2分

①当②当

时，时，

，

综上，当当①当

，

恒成立，

，

f(x) …… ３分 f(x)„„4分

；

单调递增.……6分

f(x) „„5分

单调递减，内单调递增，

，

的单调递增区间是在在区间

时，可得时，

（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知：

与②当

矛盾，舍去； …… 8分

时，

在区间

内单调递增，

， 与

矛盾，舍去；……10

分 ③当

时，

在区间

内单调递减，

，

得到④当

时，

，舍去； ……12分 在

单调递减，

单调递增，

，

令故综上得

在

，则

内为减函数， 又 …… 14分

的导

，通过分析其值的正负

，

，

试题分析： 本小题首先利用求导的公式与法则求得函数数

可得函数的单调性；

(Ⅱ) 本小题主要利用导数分析函数的单调性，根据参数的取值范围得到函数

在区间

上单调性，然后求得目标函数的最值即可.