人教培优一元二次方程辅导专题训练附答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知关于x的方程x23xa0①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程

k21(k1)x3x2a0②有实数根，又k为正整数，求代数式2的值．

kk6【答案】0. 【解析】 【分析】

2由于关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】

解：设方程①的两个实数根分别为x1、x2

x1x2＝3则x1x2＝a ， ＝94a0由条件，知即

11x1x2=3， x1x2x1x2393，且a， a4故a＝－1，

则方程②为(k-1)x2+3x+2=0，

2k21Ⅰ.当k-1=0时，k=1,x=，则20.

3kk6Ⅱ.当k-1≠0时，=9-8（k-1）=17-6-8k≥0，则k17， 8k21又k是正整数，且k≠1，则k=2，但使2无意义.

kk6k21综上，代数式2的值为0

kk6【点睛】

本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，

2．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=

，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF

的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，

D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)． （1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；

（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答： ①∠FCD的最大度数为 ； ②当FC∥AB时，AD= ；

③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ; ④△FCD的面积s的取值范围是 .

【答案】（1）2；（2）① 60°；②【解析】

；③；④

.

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长. （2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.

②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.

③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.

④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围. 试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=∵CD=10，∴AD=2.

（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.

∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF=\"60°.\" ② 如图，过点F作FH⊥AC于点H， ∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=

.

. ∴DH=3，FH=

.

.

∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH=\"45°.\" ∴HC=∵AC=12，∴AD=

. ∴DC=DH+HC=，∴AC=12.

③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，

由②知DH=3，FH=，则HC=

.

.

在Rt△CFH中，根据勾股定理，得

∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边， ∴

，即

，解得

.

④设AD=x，易知而当

时，

，即

. ，

；当时，.

.

∴△FCD的面积s的取值范围是

考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.

3．已知关于x的一元二次方程xm2xm0（m为常数）

2（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是2，求m的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析；

(2) 即m的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】 【分析】

（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=和m的方程组即可. 【详解】 (1)证明：

△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4， ∵无论m为何值时m2≥0， ∴m2+4≥4＞0， 即△＞0，

所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根.

m2 ,2t=m,最终解出关于t1(2)设方程的另一个根为t，

x2m2xm0

根据题意得2+t=解得t=0， 所以m=0，

即m的值为0，方程的另一个根为0. 【点睛】

本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t，用根于系数关系列出方程组，在求解.

m2 ,2t=m， 1

4．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两根α，β． （1）求m的取值范围； （2）若

111，则m的值为多少？

1；（2）m的值为3． 4【答案】（1）m【解析】 【分析】

（1）根据△≥0即可求解, （2）化简【详解】

解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m2≥0， 解得：m≥-

11,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.

3； 4（2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m2， ∵∴

111，即

=-1, ﹣（2m3）=-1,整理得m2﹣2m﹣3=0

m2解得：m1=﹣1，m1=3， 3， 4∴m1=﹣1应舍去， ∴m的值为3． 【点睛】

由（1）知m≥-本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.

5．关于x的方程kxk2x2k0有两个不相等的实数根． 41求实数k的取值范围；

2是否存在实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存

在，求出k的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）k1且k0；（2）不存在符合条件的实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【解析】 【分析】

1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式

式，解不等式即可求出k的取值范围.

0，由此可以得到关于k的不等

2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等

于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k的等式，解出k值，然后判断k值是否在

1中的取值范围内.

【详解】

解：1依题意得(k2)4k2k0， 4k1， 又k0，

k的取值范围是k1且k0；

2解：不存在符合条件的实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平

方根，

理由是：设方程kxk2x2k0的两根分别为x1，x2， 4k2xx12k由根与系数的关系有：，

1x1x24又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，

k21， k24k，

3由1知，k1，且k0，

4k不符合题意，

3因此不存在符合条件的实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【点睛】

本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。

6．已知关于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围；

x2－x12－x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，（2）是否存在实数k，使得x1·请说明理由． 【答案】(1)当k≤【解析】

试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决. 试题解析：

（1） 2k14k2k0，解得k221x2－x12－x22≥0成立 时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k，使得x1·

41 4222（x1x2）0， （2）由x1x2x1x20得 3x1x22由根与系数的关系可得：x1x22k1,x1x2k2k

代入得：3k26k4k24k10， 化简得：k10， 得k1.

由于k的取值范围为k21， 422故不存在k使x1x2x1x20．

7．淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．

（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品的售价为39.2元/件？

（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A商品的网上标价提高a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．

【答案】（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．

【解析】 【分析】

（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值，再将其代入80（1+a%）中即可求出结论． 【详解】

（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元， 根据题意得：80（1﹣x）2＝39.2，

解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不合题意，舍去）．

答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元． （2）根据题意得：[0.5×80（1+a%）﹣30]×1000（1+2a%）＝30000， 整理得：a2+75a﹣2500＝0，

解得：a1＝25，a2＝﹣100（不合题意，舍去）， ∴80（1+a%）＝80×（1+25%）＝100．

答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元． 【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？

（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

【答案】（1）4元或6元；（2）九折. 【解析】 【详解】

解：（1）设每千克核桃应降价x元.

x×20）=2240， 2化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6. 答：每千克核桃应降价4元或6元.

（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元. ∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.

根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+此时，售价为：60﹣6=54（元），答：该店应按原售价的九折出售.

54100%=90%. 60

9．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？ 【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件． 【解析】 【分析】

设每件商品涨价x元，能赚得8000元的利润；销售单价为(50x)元，销售量为

(50010x)件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可

列方程求解 【详解】

解：设每件商品涨价x元，则销售单价为(50x)元，销售量为(50010x)件． 根据题意，得(50010x)[(50x)40]8000． 解得x110，x230．

经检验，x110，x230都符合题意． 当x10时，50x60，50010x400； 当x30时，50x80，50010x200．

所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件． 【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解

10．解方程：x2－2x＝2x＋1. 【答案】x1＝2－5 ，x2＝2＋5. 【解析】

试题分析：根据方程，求出系数a、b、c，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据

bb24ac求根公式x求解即可.

2a试题解析：方程化为x2－4x－1＝0. ∵b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－1)＝20， ∴x＝

420＝2±5 ， 2∴x1＝2－5 ，x2＝2＋5.