高考数学压轴专题天津备战高考《平面向量》图文答案

一、选择题

vvvv1．已知向量a(1,2)，b(3,4)，则a在b方向上的投影为

A．13 【答案】C 【解析】 【分析】

B．

2 2C．1 D．65 5根据a在b方向上的投影定义求解. 【详解】

vvrrab(1,2)(3,4)38vv1， a在b方向上的投影为r(3,4)5b选C. 【点睛】

本题考查a在b方向上的投影定义，考查基本求解能力.

vv

2．已知点M在以C1(a,a2)为圆心，以1为半径的圆上，距离为23的两点P,Q在圆

uuuruuuurC2:xy8y120上，则MPMQ的最小值为（ ）

22A．18122 【答案】B 【解析】 【分析】

B．19122 C．18122 D．19122 uuuruuuuruuuruuuuruuuuruuuruuuruuuuruuuur2设PQ中点D，得到MPMDDP,MQMDDQ，求得MPMQMD3，再

利用圆与圆的位置关系，即可求解故MPMQ322【详解】

依题意，设PQ中点D，

uuuruuuur23，得到答案.

uuuruuuuruuuruuuuruuuuruuuruuuruuuuruuuur2则MPMDDP,MQMDDQ，所以MPMQMD3，

2QC2DQC2(2PQ2)1，∴D在以1为半径，以C2为圆心的圆上， 2QC2C1a2[(a2)4]22(a3)21832，

MDminC1C2minC2DMC1

uuuruuuur2故MPMQ322319122.



【点睛】

本题主要考查了圆的方程，圆与圆的位置关系的应用，以及平面向量的数量积的应用，着重考查了推理论证能力以及数形结合思想，转化与化归思想.

uuuruuuruuuruuuruuurruuuruuur3．在ABC中，OAOBOC0，AE2EB，ABAC，若uuuruuuruuuruuurABAC9AOEC，则实数( )

A．3 3B．3 2C．6 3D．6 2【答案】D 【解析】 【分析】

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurruuu将AO、EC用AB、AC表示，再代入ABAC9AOEC中计算即可. 【详解】 uuuruuuruuurr由OAOBOC0，知O为ABC的重心，

uuur21uuuruuur1uuuruuuruuuruuur所以AO(ABAC)(ABAC)，又AE2EB，

323r2uuuruuuruuuruuuruuur2uuuruuuruuuruuuruuuruuu所以ECACAEACAB，9AOEC3(ABAC)(ACAB)

33uuuruuuruuuruuur2uuur2uuuruuuruuur2uuur2|AB|36uuur. ，所以，ABAC2AB3ACABAC2AB3AC22|AC|故选：D 【点睛】

本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.

4．下列说法中说法正确的有（ ）

rrrr①零向量与任一向量平行；②若a//b，则ab(R)；

rrruuuruuuruuurrrrrrrrr③(ab)ca(bc)④|a||b||ab|；⑤若ABBCCA0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A．①④

B．①②④

C．①②⑤

D．③⑥

【答案】A 【解析】 【分析】

直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】

对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；

rrrrrr对于②：若a//b，则abR，必须有b0，故②错误；

rrrrrrrr对于③：abcabc，a与c不共线，故③错误；

rrrr对于④：abab，根据三角不等式的应用，故④正确；

uuuruuuruuurrr对于⑤：若ABBCCA0，则A,B,C为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤

错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】

本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．

A．22 【答案】D 【解析】

B．19

C．-19

5．在ABC中，已知AB8，BC4，CA6，则ABBC的值为（ ）

D．-22

uuuvuuuvAB2BC2AC211由余弦定理可得cosB，又

2ABBC16uuuvuuuvuuuvuuuv11ABBCABBCcosB4822，故选D.

16【思路点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以、余弦定理解三角形，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）a2b2c22bccosA；（2）

b2c2a2，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角cosA2bc函数有关的问题时，还需要记住30,45,60等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

ooo

uuur2uuur1uuuruuuvuuuv6．在VABC中，D为边AC上的点，若BDBABC，ADDC，则33（ ）

A．

1 3B．

1 2C．3 D．2

【答案】B 【解析】 【分析】

uuuruuuruuuv2uuuv1uuuvuuuruuuruuuvuuuv，BC表示，再根据ADDC求解. 根据BDBABC，将AD,DC都用基底BA33【详解】

uuuv2uuuv1uuuvBDBABC因为，

33uuuruuuruuurur1uuuruuuruuuruuurur2uuur1uu2uuADBDBABABC,DCBCBDBA+BC所以，

3333uuuvuuuv因为ADDC，

所以 故选：B 【点睛】

1 ， 2本题主要考查平面向量的基本定理和共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.

ruuuurrrruuuruuurrr7．已知MNa5b，NP2a8b，PQ3(ab)，则（ ）

A．M,N,P三点共线 C．N,P,Q三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】

利用平面向量共线定理进行判断即可. 【详解】

B．M,N,Q三点共线 D．M,P,Q三点共线

ruuurruuurrr因为NP2a8b,PQ3(ab)

uuuruuuruuurrrrrrr所以NQNPPQ2a8b3aba5b,

uuuuruuuruuuurrr因为MNa5b,所以MNNQ

ruuuuruuu由平面向量共线定理可知,MN与NQ为共线向量,

ruuuuruuu又因为MN与NQ有公共点N,所以M,N,Q三点共线.

故选: B 【点睛】

本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

uuuvuuuvuuuv4OAOB1OC2，tanAOB，BOC45，8．如图，已知，

3uuuvuuuvuuuvmOCmOAnOB，则等于（ ）

n

A．

5 77B．

5C．

3 7D．

7 3【答案】A 【解析】 【分析】

依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B、C的坐标，利用向量相等建立关于m、n的方程，求解即可． 【详解】

以OA所在的直线为x轴，过O作与OA垂直的直线为y轴，建立直角坐标系如图所示：

uuuruuur434因为OAOB1，且tanAOB，∴cosAOB，sinAOB，

355∴A（1，0），B（，），又令AOCθ，则θ=AOBBOC，∴

3451tanθ3=7，

413uuuv17272OC2，∴C（，）， ,又又如图点C在∠AOB内，∴cosθ=，sinθ=551010uuuruuuruuur17343∵OCmOAnOB，（m，n∈R），∴（，）=（m,0）+（n，n）=(mn，

5555n） 5137475m5 mn，n，解得n=，m=，∴， 55n7故选A． 【点睛】

即

本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．

rrrrr9．设a1,m，b2,2，若2ambb，则实数m的值为（ ）

A．

1 2B．2

C．

13D．-3

【答案】C 【解析】 【分析】

rr计算2amb22m,4m，根据向量垂直公式计算得到答案.

【详解】

rr2amb22m,4m，

rrrrrr1∵2ambb，∴2ambb0，即222m8m0，解得m.

3故选：C. 【点睛】

本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.

△ABC的面积为（ ） A．2 【答案】C 【解析】 【分析】

B．

10．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且3a2+3c2-3b2=2ac，BA⋅BC=2，则

ruuuruuu3 2C．22 D．42 利用余弦定理求出B的余弦函数值，结合向量的数量积求出ca的值，然后求解三角形的面积． 【详解】

在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且3a2+3c2﹣3b2＝2ac，

a2c2b2122可得cosB， ，则sinB2ac33uuuruuurBA⋅BC2，可得cacosB＝2，则ac＝6，

∴△ABC的面积为：故选C． 【点睛】

1122acsinB622． 223本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力．

rrrrrr11．已知向量b1,3，向量a在b方向上的投影为6，若(ab)b，则实数的

值为（ ） A．

13 B．13

C．

23 D．3

【答案】A 【解析】 【分析】

设rax,y，转化条件得x3y26，x3y4，整体代换即可得解.

【详解】 设rax,y，

Qra在rrb方向上的投影为6，arrbx3yb26即x3y12. 又 (arbr)br，(arbr)br0即x13y30，

x3y4即124，解得13. 故选：A. 【点睛】

本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.

12．在边长为2的等边三角形ABC中，若uAEuuv1uuuvuuuvuuuvuuuvuuuv3AC,BFFC，则BEAF（A．23 B．43 C．83

D．2

【答案】D 【解析】 【分析】

运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值． 【详解】

在边长为2的等边三角形ABC中，若uAEuur1uuur3AC，

）则BEAF（AEAB）•

uuuruuuvuuuruuurruuur1uuu（ACAB） 2ruuurruuur1uuu1uuu＝（ACAB）•（ACAB）

32ruuuruuurr22uuu142111uuu2422（ACABAB•AC）2

2332233故选：D 【点睛】

本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．

x2y213．若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，

43则OPgFP的最大值为（ ） A．4 【答案】C 【解析】 【分析】

设Px,y，由数量积的运算及点P在椭圆上，可把OPFP表示成为x的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】

设Px,y，F1,0,O0,0，则

B．5

C．6

D．7

uuuruuuruuuruuurOPx,y,FPx+1,y，则 uuuruuurOPFPx2xy2，

32x2y22因为点P为椭圆上，所以有：1即y3x，

443uuuruuur3212222所以OPFPxxyxx3xx22

44又因为2x2，

所以当x2时，OPFP的最大值为6 故选：C 【点睛】

本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.

uuuruuur

rrrrrrrrrrrrr14．已知平面向量a,b,c满足abab2,acb2c1，则bc的最小值

为（ ）

A．

75 2B．

73 2C．5-23

D．

31 2【答案】A 【解析】 【分析】

rrrrr，3，b2，根据题意，易知a与b的夹角为60，设a=10，cx,y，由

rrrracb2c1，可得x2y22x3y10，所以原问题等价于，圆

210之间距离的最小值， 利用圆心和点2，00上一动点与点2，2的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】

rrrrrrrrabab2a=1，3因为，所以a与b的夹角为60，设，b2，0，rcx,y， x2y22x3yrrrr122因为acb2c1，所以xy2x3y0，

2rr2又bcx2y2，

所以原问题等价于，圆xy2x3y值，

2210之间距离的最小0上一动点与点2，23151，0与圆又圆xy2x3y0的圆心坐标为，半径为，所以点2，222

22x2y22x3y210上一动点距离的最小值为235752. 21222故选：A. 【点睛】

本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．

15．下列命题为真命题的个数是（ ） ①xxx是无理数}，x2是无理数； ②若ab0，则a0或b0；

rrrrrr③命题“若x2y20，xR，yR，则xy0”的逆否命题为真命题；

exex④函数fx是偶函数.

xA．1 【答案】B 【解析】 【分析】

利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】

对于①中，当x2时，x22为有理数，故①错误；

rrrrrrrr对于②中，若ab0，可以有ab，不一定要a0或b0，故②错误；

22对于③中，命题“若xy0，xR，yR，则xy0”为真命题，

B．2 C．3 D．4

其逆否命题为真命题，故③正确；

exexexex对于④中，fxfx，

xx且函数的定义域是(,0)U(0,)，定义域关于原点对称， exex所以函数fx是偶函数，故④正确.

x综上，真命题的个数是2. 故选：B. 【点睛】

本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.

rrrrrrrrrrrrrr16．已知平面向量a,b,c满足|a||b|2，ab，(ac)(bc)，则(a+b)c的取值

范围是( ) A．[0,2] 【答案】D 【解析】 【分析】

以点O为原点，OA，OB分别为x轴，y轴的正方向建立直角坐标系，根据ACBC，得到点C在圆(x1)(y1)2，再结合直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】

22B．[0,22]

C．[0,4] D．[0,8]

uuuruuuruuurruuurruuurr设OAa,OBb,OCc，

以点O为原点，OA，OB分别为x轴，y轴的正方向建立直角坐标系，则

uuuruuurA(2,0),B(0,2)，

依题意，得ACBC，所以点C在以AB为直径的圆上运动，

22rrr设点C(x,y)，则(x1)(y1)2，(ab)c2x2y，

由圆心到直线2x2yt的距离d故选：D． 【点睛】

本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力．

22t22222，可得t[0,8].

17．已知A,B是圆O:x2y216的两个动点，AB4,OC别是线段AB的中点，则OC·OM（ ） A．843 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】

B．843 C．12

D．4

uuuvuuuuvuuuv5uuuv2uuuvOAOB，若M分33uuuur1uuur1uuur由题意OMOAOB，则

22uuuvuuuuv5uuuv2uuuv1uuuv1uuuv5uuuv21uuuv21uuuvuuuvOCOMOAOBOAOBOAOBOAOB，又圆的半径

3232326uuuruuuruuuruuuvuuuvπuuuv2uuuv2AB=4为4，，则OA,OB两向量的夹角为．则OAOB8，OAOB16，所

3uuuruuuur以OCOM12．故本题答案选C．

点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.

rr518．已知向量a(,0)，b(0,5)的起点均为原点，而终点依次对应点A，B，线段

2rrruuuruuuruuuAB边上的点P，若OPAB，OPxayb，则x，y的值分别为（ ）

14， 55【答案】C

A．

B．

41， 33C．

41， 55D．，

134 3【解析】 【分析】

uuuruuurrruuuruuur55求得向量OP(x,5y)，ABba(,5)，根据OPAB和A,B,P三点共线，

22列出方程组，即可求解. 【详解】

ruuurrrr55由题意，向量a(,0)，b(0,5)，所以OPxayb(x,5y)，

22uuurrr5又由ABba(,5)，

2uuuruuuruuuruuur25x25y0，可得x4y， 因为OPAB，所以OPAB4又由A,B,P三点共线，所以xy1，

x4y41联立方程组，解得x,y.

55xy1故选：C. 【点睛】

本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标运算和向量共线定理的应用，着重考查了运算与求解能力.

vvvvvv2aa1,3b3,m19．已知向量，，若ab，则b等于（ ）

A．10 【答案】C 【解析】 【分析】

B．16

C．52 D．410 rrrm先利用向量垂直的坐标表示求出实数的值，得出向量b的坐标，并计算出向量2ab，

最后利用向量模的坐标运算得出结果． 【详解】

rrrrrrrQa1,3，b3,m，ab，则ab133m0，得m1，b3,1，

rrrr2则2ab21,33,15,5，因此，2ab52552，故选C.

【点睛】

本题考查向量垂直的坐标表示以及向量模的坐标运算，意在考查学生对这些公式的理解掌握情况，考查运算求解能力，属于中等题．

rr20．已知单位向量a,b满足

rrrra3b13，则a与b的夹角为

A．

 6B．

 4C．

 3D．

 2【答案】C 【解析】

rr2rrrrrr 由a3b13，所以a3ba26ab9b213，

rrrr 又因为单位向量a,b，所以6abrr13ab，

2rrrab1rrrrrrrcosa,br所以向量a,b的夹角为，且a,b[0,]，所以a,b，故选rab23C.