万有引力专题：多星,变轨,相逢等问题。2

经典例题

例题1. 如图1所示，两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必须各以一定速度绕某一中心转动才不至于因万有引力而吸引在一起，已知双星的质量分别为m1和m2，相距为l，万有引力常量为G，求： （1）双星转动的中心位置；（2）转动周期。

解析：（1）设双星转动的中心位置O距离m1为r，与两恒星中心的距离l不同

F引F向m1r2m2(lr)2解得rm2l

m1m2Gm1m222mr() 12Tl（2）在求第二问时更应注意距离和半径的区别，对恒星m1，由

l3得转动周期为T2

G(m1m2)例题2.（06年广东高考） 宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。 （1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。

（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？

例题3.（2009届江苏海安县高三月考)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的质量均为m，四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为G，试求： （1）求星体做匀速圆周运动的轨道半径；

（2）若实验观测得到星体的半径为R，求星体表面的重力加速度； （3）求星体做匀速圆周运动的周期．

解析：（1）由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径r2a 2（2）由万有引力的定律可知Gmm'mm'g 则星体表面的重力加速度gG2 2RR（3）星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式

m2m22422aT2a得：G 解得周期 2Gcos45ma222(42)Gma2T(2a)经典习题

1、（襄樊市06调研）在天体运动中，设有质量分别为m1和m2的两星球绕着它们连线上的某点做圆周运动，相对位置不变，称为双星。若它们之间的距离为L，下列说法中正确的是（ B ）

A．若m1﹥m2，则m1受到的向心力大于m2受到的向心力 B．若m1﹥m2，则m1的向心加速度小于m2的向心加速度 C．两星球运行的线速度一定相等 D．两星球的轨迹半径等于L/2

2．广西桂林十八中2010届高三第三次月考物理试卷宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G．关于四星系统，下列说法错误的是 ( B ) A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动 B．四颗星的轨道半径均为 C．四颗星表面的重力加速度均为Ga 2m D．四颗星的周期均为2aR2

2a42Gm 3. 两棵靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是（B、D ）

A.它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比 B.它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比 C.它们做圆周运动的半径与其质量成正比 D.它们做圆周运动的半径与其质量成反比 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

飞行器变轨、椭圆轨道问题

经典例题

例题1： 如图所示，轨道A与轨道B相切于P点，轨道B与轨道C相切于Q点，以下说法正确的是（ACD ）

A.卫星在轨道B上由P向Q运动的过程中速率越来越小

B.卫星在轨道C上经过Q点的速率大于在轨道A上经过P点的速率

C.卫星在轨道B上经过P时的向心加速度与在轨道A上经过P点的向心加速度是相等的 D.卫星在轨道B上经过Q点时受到地球的引力小于经过P点的时受到地球的引力

例题2、河南省新郑州二中分校2010届高三第一次模拟我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．如图所示，关闭动力的航天飞船在月球引力作用下向月球靠近，并将沿椭圆轨道与空间站在B处对接，已知空间站绕月做圆周运动轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，下列说法中正确的是( BC )

A、图中航天飞机正减速飞向B处

B、航天飞船在B处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速 C、根据题中条件可以算出月球质量

D、根据题中条件可以算出空间站受到月球引力的大小

例题3.我国执行首次载人航天飞行的神州五号飞船于2003年10月15日在中国酒泉卫星发射中心发射升空．飞船由长征-2F运载火箭先送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道，在B点实施变轨后，再进入预定圆轨道，如图所示．已知

飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，近地点A距地面高度为h1，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，求：

（1）飞船在近地点A的加速度aA为多大？ （2）远地点B距地面的高度h2为多少？

解答：（1）设地球质量为M，飞船的质量为m，在A点受到的地球引力为

FGMmRh12gG 2分 地球表面的重力加速度

MR2 2分

由牛顿第二定律得

FGMgR2aA22mRh1Rh1T 4分

（2）飞船在预定圆轨道飞行的周期

22gRth23R224n解得 4分。

tG2Rh2n 2分 由牛顿运动定律得

Mm2mT2Rh22分

经典习题

1．发射同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运动，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图6—5—5所示，当卫星分别在1、2、3轨道上正常运动时，以下说法正确的是（ ABD ）

A．卫星在轨道2上由Q向P运动的过程中速率越来越小

B．卫星在轨道3上经过P点的速率大于在轨道2上经过P点的速率 C．卫星在轨道2上经过Q点的半径小于在轨道2上经过P点的半径 D．卫星在轨道2上运动的周期小于在轨道3上运动的周期 2、（鲁东南三市四县一次调研）将卫星发射至近地圆轨道1，然后再次点火，将卫星送入同

P 步轨道3。轨道1、2相切于Q点，2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常3 2 1 运行时，以下说法正确的是BD

A．卫星在轨道3上的速率大于轨道1上的速率

B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度 Q C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度

D．卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度

3、（广安市模拟）2003年10月15日，我国成功地发射了“神舟五号”载人飞船，经过21小时的太空飞行，返回舱于次日安全着陆。已知飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，椭圆的一个焦点是地球的球心，如图所示，飞船在飞行中是无动力飞行，只受到地球的万有引力作用，在飞船从轨道的A点沿箭头方向运行到B点的过程中，有以下说法：①飞船的速度逐渐增大 ②飞船的速度逐渐减小 ③飞船的机械能守恒 ④飞船的机械能逐渐增大。上述说法中正确的是 C

相逢类

经典例题

例题1、科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔t时间与地球相遇一次，已知地球绕太阳公转半径是R，周期是T，设地球和小行星都是圆轨道，求小行星与地球的最近距离。

//

解：设小行星绕太阳周期为T，T>T,地球和小行星没隔时间t相遇一次，则有

tttT /1 T/TTtT/

设小行星绕太阳轨道半径为R,万有引力提供向心力有

2Mm//4G/2m/2R/ RTMm42m2R 同理对于地球绕太阳运动也有 GR2Tt2/3R/3T/2/)R 由上面两式有 32 R(tTRT 所以当地球和小行星最近时 dRR(/t2/3)RR tT例题2. 湖南省同升湖实验学校2010届高三第三次月考如图为宇宙中有一个恒星系的示意图。A为星系的一颗行星，它绕恒星O运行的轨道近似为圆。天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为R0、周期为T0。 （1）恒星O的质量为多大？ （2）经长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔时间t0发生一次最大的偏离。天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B（假设其运行轨道与A在同一水平面内，且与A的绕行方向相同），它

对A行星的万有引力引起A轨道的偏离。（由于B对A的吸引而使A的周期引起的变化可以忽略）根据上述现象及假设，试求未知行星B的运动周期T及轨道半径R. 解析：（1）设恒星质量为M ，A行星质量为m

342R0GMm42 （1分） m2R0 （ 3分 ） 得 M22R0TGT0（2）A、B相距最近时，A偏离最大，据题意有

tT22t0t02 （4分） 得 T00 （1分） T0Tt0T023t0R3R0据开普勒第三定律 22 （4分） 得 R()3R0 （1分）

t0T0TT0例题3.(2009届广东茂名市模拟)太空被称为是21世纪技术的摇篮。摆脱地球引力，在更“纯净”的环境中探求物质的本质，拨开大气层的遮盖，更直接地探索宇宙的奥秘，一直是科学家们梦寐以求的机会。“神州号” 两次载人飞船的成功发射与回收给我国航天界带来足够的信心，我国提出了载人飞船——太空实验室——空间站的三部曲构想。某宇航员要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站（1.A） A. 只能从较低轨道上加速 B. 只能从较高轨道上加速

C. 只能从空间站同一高度的轨道上加速 D. 无论在什么轨道上，只要加速都行 基础演练

1. 关于航天飞机与空间站对接问题，下列说法正确的是（ C 。）

A.先让航天飞机与空间站在同一轨道上，然后让航天飞机加速，即可实现对接 B.先让航天飞机与空间站在同一轨道上，然后让航天飞机减速，即可实现对接 C.先让航天飞机进入较低的轨道，然后再对其进行加速，即可实现对接 D.先让航天飞机进入较高的轨道，然后再对其进行加速，即可实现对接

2．2002年四月下旬，天空中出现了水星、金星、火星、木星、土星近乎直线排列的“五星连珠”的奇观，这种现象的

概率大约是几百年一次。假设火星和木星绕太阳作匀速圆周运动，周期分别是T1和T2，而且火星离太阳较近，它

们绕太阳运动的轨道基本上在同一平面内，若某一时刻火星和木星都在太阳的同一侧，三者在一条直线上排列，那么再经过多长的时间将第二次出现这种现象？

（ D ）

D．

TT2A．1

2B．T1T2

T12T22C．

2T1T2

T2T13. 河北省衡水中学2010届高三上学期第四次调研考试科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过

观测该小行星每隔t时间与地球相遇一次，已知地球绕太阳公转半径是R，周期是T，设地球和小行星都是圆轨道，求小行星距太阳的距离.

解：设小行星绕太阳周期为T'，T'＞T，地球和小行星每隔时间t相遇一次，则有

tt1 设小行星绕太阳轨道半径为R'，万有引力提供向心力有 GMm'42R'2m'T'2R' GMm42同理对于地球绕太阳运动也有R2mT2R

由上面两式有 R'3T'2tR3T2 R'(tT)2/3R

TT'