(江苏专用)2020版高考物理总复习第六章静电场专题突破静电场中的图象问题教案

专题突破 静电场中的图象问题

电场中粒子运动的v－t图象

根据v－t图象的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场强度的方向、电势的高低及电势能的变化。

【例1】 (2018·4月浙江选考)一带电粒子仅在电场力作用下从A点开始以－v0做直线运动，其v－t图象如图1所示。粒子在t0时刻运动到B点，3t0时刻运动到C点，以下判断正确的是( )

图1

A.A、B、C三点的电势关系为φB>φA>φC B. A、B、C三点的场强大小关系为EC>EB>EA

C.粒子从A点经B点运动到C点，电势能先增加后减少 D.粒子从A点经B点运动到C点，电场力先做正功后做负功

解析 带电粒子的带电性质不确定，无法判断电势的高低，A项错误；根据图象可知带电粒子的动能先减小后增大，由能量转化关系可知，动能转化为电势能，所以电势能先增大后减小，电场力先做负功再做正功，选项C正确，D错误；v－t图象的斜率表示加速度的大小，也可间接地反映电场力和电场强度的大小，图线的斜率先增大后减小，且方向没有改变，所以电场强度应该是EB最大，选项B错误。 答案 C

电场中的E－x图象

1.几种常见的E－x图象 (1)点电荷的E－x图象

正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图象大致如图2所示。(E方向向右为正)

图2

(2)两个等量异种点电荷的E－x图象

①两电荷连线上的E－x图象如图3甲所示。 ②两电荷连线的中垂线上的E－y图象如图3乙所示。

甲 乙

图3

(3)两个等量同种点电荷的E－x图象 ①两电荷连线上的E－x图象如图4甲所示。 ②两电荷连线的中垂线上的E－y图象如图4乙所示。

甲 乙

图4

2.E－x图象特点

(1)反映了电场强度随位移变化的规律。

(2)E>0表示场强沿x轴正方向；E<0表示场强沿x轴负方向。

(3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定。

【例2】 (多选)x轴上O点右侧各点的电场方向与x轴方向一致，O点左侧各点的电场方向与x轴方向相反，若规定向右的方向为正方向，x轴上各点的电场强度E随x变化的图象如图5所示，该图象关于O点对称，x1和－x1为x轴上的两点。下列说法正确的是( )

图5

A.O点的电势最低

B.x1和－x1两点的电势相等

C.电子在x1处的电势能大于在－x1处的电势能

D.电子从x1处由静止释放后，若向O点运动，则到达O点时速度最大

解析 作出电场线，根据顺着电场线电势降低，则O点电势最高，故A错误；从图线看出，电场强度关于原点O对称，则x轴上关于O点对称位置的电势相等，电子在x1和－x1两点处的电势能相等，故B正确，C错误；电子从x1处由静止释放后，若向O点运动，到达O点时电场力做功最多，故动能最大，速度最大，故D正确。 答案 BD

电场中的φ－x图象

1.几种常见的φ－x图象

(1)点电荷的φ－x图象(取无限远处电势为零) ①正点电荷的φ－x图象如图6甲所示。 ②负点电荷的φ－x图象如图6乙所示。

甲 乙

图6

(2)两个等量异种点电荷连线上的φ－x图象，如图7所示。

图7

(3)两个等量同种点电荷的φ－x图象

①两正点电荷连线上的φ－x图象如图8甲所示。 ②两正点电荷连线的中垂线上的φ－y图象如图8乙所示。

甲 乙

图8

2.φ－x图象特点及应用

(1)电场强度的大小等于φ－x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ－x图线存在极值，其

切线的斜率为零。

(2)在φ－x图象中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向。

(3)在φ－x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断。

【例3】 (2018·江苏南京、盐城高三第一次模拟)(多选)电荷量为Q1 和Q2 的两点电荷分别固定在x 轴上的O、C 两点，规定无穷远处电势为零，x轴上各点电势随x的变化关系如图9所示。则( )

图9

A.Q1 的电荷量小于Q2 的电荷量 B.G 点处电场强度的方向沿x 轴负方向

C.将一带负电的试探电荷自G 点静止释放，仅在电场力作用下一定能到达D 点 D.将一带负电的试探电荷从D 点移到J 点，电场力先做正功后做负功

解析 图象斜率大小表示场强大小，由图可知在H点的场强为零，即Q1和Q2两电荷在H点的合场强为零，由公式E＝2可知，Q1的电荷量大于Q2的电荷量，故A项错误；由图知B点的电势为零，由于沿着电场线方向电势降低，所以在B点左边场强方向沿x轴正方向，在C点右边场强方向沿x轴负方向，故B项正确；由在G点场强方向沿x轴负方向，负电荷所受电场力方向向右，所以负电荷沿x轴向右运动，故C项错误；由图象可知从D点到J点电势先升高再降低，负电荷的电势能先减小后增大，电场力先做正功后做负功，故D项正确。 答案 BD

Ep－x图象

1.反映了电势能随位移变化的规律； 2.图线的切线斜率大小等于电场力大小；

3.进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况。

【例4】 (2018·苏锡常镇四市一调)一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动。取该直线为x轴，起始点O为坐标原点，其电势能Ep与位移x的关系如图10所示。下列图象中合理的是( )

kQr

图10

解析 由于粒子只受电场力作用，因此由F电＝

ΔEp可知，E－x图象的斜率大小即为粒子所

p

Δx

受电场力大小，从图象可知，图象的斜率随位移的增大而越来越小，因此粒子运动后所受的电场力随位移的增大而越来越小，因此电场强度越来越小，选项A错误；由于只受电场力作用，因此动能与电势能的和是定值，但从选项B和题图可以看出，不同位置的电势能与动能的和不是定值，选项B错误；粒子受到的电场力随位移的增大而越来越小，因此加速度随位移的增大而越来越小，相等位移内速度增加的越来越小，v－x 图线应为曲线，故选项C错误，D正确。 答案 D

科学思维的培养——带电粒子在交变电场中的运动

1.常见的交变电场

常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等。 2.常见的试题有三种类型

(1)粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解)。 (2)粒子做往返运动(一般分段研究)。

(3)粒子做偏转运动(一般根据交变电场特点分段研究)。 3.解答带电粒子在交变电场中运动的思路

(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)，抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的边界条件。 (2)分析时从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系。

(3)注意对称性和周期性变化关系的应用。

【典例1】 制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为d的两平行极板，如图11甲所示。加在极板A、B间的电压UAB做周期性变化，其正向电压为U0，反向电压为－kU0(k＞1)，电压变化的周期为2τ，如图乙所示。在t＝0时，极板B附近的一个电子，质量为m、电荷量为e，受电场作用由静止开始运动。若整个运动过程中，电子未碰到极板A，且不考虑

5

重力作用。若k＝，电子在0～2τ时间内不能到达极板A，求d应满足的条件。

4

图11

解析 电子在0～τ时间内做匀加速运动 加速度的大小a1＝12

位移x1＝a1τ

2

在τ～2τ时间内先做匀减速运动，后反向做匀加速运动 加速度的大小a2＝eU0

mdkeU0

md初速度的大小v1＝a1τ

v21

匀减速运动阶段的位移x2＝ 2a2

由题知d＞x1＋x2，解得d＞答案 d＞

9eU0τ

10m2

9eU0τ

。 10m2【典例2】 (2018·徐州、宿迁、连云港、淮安高三模拟)如图12甲所示，极板A、B间电压为U0，极板C、D间距为d，荧光屏到C、D板右端的距离等于C、D板的板长。A板O处的放射源连续无初速度地释放质量为m、电荷量为＋q的粒子，经电场加速后，沿极板C、D的中心线射向荧光屏(荧光屏足够大且与中心线垂直)，当C、D板间未加电压时，粒子通过两板间的时间为t0；当C、D板间加上图乙所示电压(图中电压U1已知)时，粒子均能从C、D板间飞出，不计粒子的重力及相互间的作用。求：

图12

(1)C、D板的长度L；

(2)粒子从C、D板间飞出时垂直于极板方向偏移的最大距离； (3)粒子打在荧光屏上区域的长度。

12

解析 (1)粒子在A、B板间有qU0＝mv0

2在C、D板间有L＝v0t0 解得L＝t0

2qU0

m。

(2)粒子从nt0(n＝0，2，4，…)时刻进入C、D板间，偏移距离最大，粒子做类平抛运动 12

偏移距离y＝at0

2加速度a＝

qU1

mdqU1t20

得y＝。

2md(3)粒子在C、D板间偏转距离最大时打在荧光屏上距中心线最远 出C、D板时的偏转角tan θ＝，vy＝at0 打在荧光屏上距中心线的最远距离

vyv0

s＝y＋Ltan θ

3qU1t0

荧光屏上区域长度Δs＝s＝。

2md答案 (1)t0

2qU0

2

qU1t23qU1t00

(2) (3)m2md2md2

1.(2018·江苏省泰州中学高三上学期摸底考试)如图13甲所示，直线上固定两个正点电荷A与B，其中B带＋Q的电荷量，C、D两点将A、B连线三等分，现有一个带负电的粒子从C点开始以某一初速度向右运动，不计粒子所受的重力，并且已知该粒子在C、D间运动的速度v与时间t的关系图象如图乙所示，则A点电荷的电荷量可能是( )

图13

A.＋5Q C.＋2Q

B.＋3Q D.＋Q

解析 由v－t图象可知该粒子在两正电荷A、B的作用下做加速度逐渐减小的减速运动，故点电荷A对该粒子的库仑引力大于点电荷B对该粒子的库仑引力，根据库仑定律，在D点，有k2＞k2，得QA＞4Q，故选项A正确，B、C、D错误。

4rrQAqQq

答案 A

2.(2018·江苏南通高三第一次调研)(多选)真空中有一半径为r0的均匀带电金属球，以球心为原点建立x轴，轴上各点的电势φ分布如图14所示，r1、r2分别是＋x轴上A、B两点到球心的距离。下列说法中正确的有( )

图14

A.0～r0范围内电场强度处处为零 B.A点电场强度小于B点电场强度 C.A点电场强度的方向由A指向B

D.正电荷从A点移到B点过程中电场力做正功

Δφ

解析 根据E＝可知，φ－x图象的斜率表示电场强度的大小，由图可知在0～r0范围内

Δx斜率为0，故在0～r0范围内电场强度处处为零，故A项正确；根据场强公式E＝2，得A点的电场强度大于B点的电场强度，故B项错误；A到B电势降低，所以A点的电场强度方向由

kQrA指向B，故C项正确；正电荷沿直线从A移到B的过程中，电场力方向由A指向B，所以电

场力做正功，故D项正确。 答案 ACD

3.(2019·镇江一模)(多选)一个带电粒子在电场中仅在静电力作用下做直线运动，取该直线为x轴，初始位置O为坐标原点，其电势能Ep与坐标x的关系如图15所示，则下列关于直线上各点的场强E、粒子运动的速度v、动能Ek、加速度a与x的关系图象中，合理的是( )

图15

解析 电势能变化看电场力做功，有ΔEp＝EqΔx，由Ep－x图象的斜率为定值，说明电场为

匀强电场，选项A正确；粒子所受电场力为恒力，加速度为定值，做匀变速运动，选项B、D错误；根据动能定理知动能变化看合力做功，电场力为恒力，动能随位移均匀变化，选项C正确。 答案 AC

4.两个带正电，所带电荷量都为q的点电荷放在x轴上，相距为L，能正确反映两电荷连线上场强E与x关系的是以下选项中的哪一个图( )

解析 由等量同种点电荷的电场强度的分布情况可知，在两电荷连线中点处电场强度最小，为零，从两点电荷向连线中点电场强度逐渐减小，关于连线中点对称的两点场强大小相等，但方向相反，因此选项A正确。 答案 A

活页作业 (时间：35分钟)

一、单项选择题

1.(2018·苏州质检)电场中某三条等势线如图1中实线a、b、c所示。一电子仅在电场力作用下沿直线从P运动到Q，已知电势φa>φb>φc，这一过程电子运动的

v－t图象可能是下图中的( )

图1

解析 结合φa>φb>φc，由题图等势线的特点可确定此电场为非匀强电场，且Q点处电场强度小于P点处电场强度，电子仅在电场力作用下沿直线从P运动到Q，将做加速度越来越小的加速运动，选项A正确。 答案 A

2.两电荷量分别为q1和q2的点电荷固定在x轴上的O、M两点，两电荷连线上各点电势φ随

x变化的关系如图2所示，其中C为ND段电势最低的点，则下列说法正确的是( )

图2

A.q1、q2为等量异种电荷

B.N、C两点间场强方向沿x轴负方向

C.N、D两点间的电场强度大小沿x轴正方向先减小后增大 D.将一正点电荷从N点移到D点，电势能先增大后减小

解析 根据q1左侧和q2右侧电势随距离增大而降低可判断两者均为正电荷，A错误；N、C间的电场方向沿x轴正方向，C点场强为0，B错误；根据N→D间图线的斜率大小先减小后增大可知，场强先减小到零后反向增大，C正确；正电荷从N移到D，由Ep＝qφ知，电势能先减小后增大，D错误。 答案 C

3.(2018·江苏徐州高三第一次质检)带电球体的半径为R，以球心为原点O建立坐标轴x，轴上各点电势φ随x变化如图3所示，下列说法正确的是( )

图3

A.球体带负电荷 B.球内电场强度最大 C.A、B两点电场强度相同

D.正电荷在B点的电势能比C点的大

解析 从球出发向两侧电势降低，而电场线从正电荷出发，沿着电场线电势降低，故球带正电荷，故A项错误；球是等势体，内部任意两点间的电势差为零，故场强为零，故B项错误；

A点与B点的电场强度大小相等，但方向相反，故不同，故C项错误；从B到C，电势降低，

故正电荷电势能减小，故D项正确。 答案 D

4.(2018·盐城中学模拟)在空间中存在着沿x轴的静电场，其电场强度E随位置坐标x变化规律如图4所示，A、B、C为x轴上的点，取x轴正方向为电场强度的正方向。下列说法中正

确的是( )

图4

A.AC段中B点的电势最低

B.一带正电的粒子从A点运动到B点电势能增加 C.UAB>UBC

D.一负电荷仅在电场力作用下从A点运动到C点动能先减小后增大

解析 顺着电场线方向，电势逐渐降低，所以B点电势不是最低，故选项A错误；一带正电的粒子从A点运动到B点，电场力做正功，电势能减少，故选项B错误；由图象可知与坐标轴围成的面积表示电势差，即UAB>UBC，故选项C正确；负电荷仅在电场力的作用下从A点运动到C点，电场力做负功，动能一直减小，故选项D错误。 答案 C

5.在真空中的x轴上的原点处和x＝6a处分别固定一个点电荷M、N，在x＝2a处由静止释放一个正点电荷P，假设点电荷P只受电场力作用沿x轴方向运动，得到点电荷P速度大小与其在x轴上的位置关系如图5所示，则下列说法正确的是( )

图5

A.点电荷M、N一定都是负电荷

B.点电荷P的电势能一定是先增大后减小 C.点电荷M、N所带电荷量的绝对值之比为2∶1 D.x＝4a处的电场强度一定为零

解析 根据题图可知，点电荷的速度先增大后减小，说明电场力对点电荷P先做正功，后做负功，则M、N一定都是正电荷，且点电荷P的电势能一定是先减小后增大，所以选项A、B错误；由于在x＝4a处速度最大，说明点电荷M、N在此处产生的合场强为0，则有2＝（4a）

kQMkQN2，所以QM∶QN＝4∶1，选项C错误，D正确。 （2a）

答案 D 二、多项选择题

6.如图6甲，直线MN表示某电场中一条电场线，a、b是线上的两点，将一带负电荷的粒子从

a点处由静止释放，粒子从a运动到b过程中的v－t图线如图乙所示，设a、b两点的电势分

别为φa、φb，场强大小分别为Ea、Eb，粒子在a、b两点的电势能分别为Wa、Wb，不计重力，则有( )

图6

A.φa＞φb C.Ea＜Eb

B.Ea＞Eb D.Wa＞Wb

解析 由图乙可知，粒子做加速度减小，速度增大的直线运动，故可知从a到b电场强度减小，粒子动能增大，电势能减小，电场力方向由a指向b，电场线方向由b指向a，b点电势高于a点电势，故选项B、D正确。 答案 BD

7.(2018·如皋市第二次质检)如图7甲所示，平行金属板有一个静止的电子(不计重力)，两板间距离足够大，当两板间加上如图乙所示的电压后，在下图中反映电子速度v、位移x和加速度a三个物理量随时间t的变化规律可能正确的是( )

图7

解析 分析电子一个周期内的运动情况：0～时间内，电子从静止开始向B板做匀加速直线

4

TTTTT3

运动，～时间内沿原方向做匀减速直线运动，时刻速度为零，～T时间内向A板做匀加

42224

3

速直线运动，T～T时间内做匀减速直线运动。根据匀变速直线运动速度－时间图象是倾斜的

4

直线可知，A图符合电子的运动情况，故A项正确，C项错误；电子做匀变速直线运动时x－t图象应是抛物线，故B项错误；根据电子的运动情况：匀加速运动和匀减速运动交替进行，而匀变速运动的加速度大小不变，a－t图象应平行于横轴，故D项正确。 答案 AD

8.(2017·江苏单科)在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图8所示。下列说法正确的有( )

图8

A.q1和q2带有异种电荷 B.x1处的电场强度为零

C.负电荷从x1移到x2，电势能减小 D.负电荷从x1移到x2，受到的电场力增大

解析 由x1处电势为零可知，两点电荷q1和q2带有异种电荷，选项A正确；在φ－x图象中，图象切线的斜率表示电场强度，则x1处的电场强度不为零，选项B错误；且有x1到x2电场强度逐渐减小，负电荷受到的电场力逐渐减小，选项D错误；由Ep＝φq可知，负电荷在电势高处的电势能小，负电荷从x1移到x2，电势能减小，选项C正确。 答案 AC

9.(2018·江苏盐城中学模拟)两个点电荷Q1和Q2固定在x轴上O、D两点，两者之间连线上各点电势高低如图9中曲线所示(OB＞BD)，取无穷远处电势为零，由图可知( )

图9

A.B点电场强度为零 B.Q1为负电荷，Q2为正电荷 C.Q1电荷量一定大于Q2电荷量

D.将电子沿x轴从A点移到C点，电场力一直做正功

解析 因为φ－x图线的斜率等于电场强度大小，所以B点电场强度不为零，选项A错误；因B点左侧电势为负，右侧电势为正，故可知Q1为负电荷，Q2为正电荷，选项B正确；因电势为零的位置离D点较近，故Q1电荷量一定大于Q2电荷量，选项C正确；将电子沿x轴从A

点移到C点，电势一直升高，电势能减少，则电场力一直做正功，选项D正确。 答案 BCD

10.(2018·通州中学模拟)空间中存在沿x轴正方向的电场，x轴上各点的电场强度随x的变化情况如图10所示。下列说法中正确的是( )

图10

A.x1、x2两处的电势相同

B.电子在x1处的电势能小于在x2处的电势能 C.x＝0处与x1处两点之间的电势差为U＝

E0x1

2

D.电子沿x轴从x1处运动到x2处，电场力一直做负功

解析 沿电场方向电势降低，因为电场方向指向x轴正方向，故x轴相当于一条电场线，故φx1>φx2，选项A错误；电子受到的电场力方向和电场方向相反，故从x1到x2电场力做负功，电势能增大，电子在x1处的电势能小于在x2处的电势能，选项B、D正确；因为从0到x1处的电场强度是均匀增大的，所以从0到x1处的电场强度平均值为，根据公式E＝可得从0到

2dE0UE0x1

x1处的电势差为U＝，选项C正确。

2

答案 BCD

11.(2018·江苏如皋教学质量调研)一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能EP随位移x变化的关系如图11所示，其中0～x2段是对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法正确的是( )

图11

A.x1处电场强度为零

B.x1、x2、x3处电势φ1、φ2、φ3的关系为φ1＞φ2＞φ3 C.粒子在x2～x3段速度v随x均匀减小 D.x2～x3段是匀强电场

Δφ

解析 根据电势能与电势的关系Ep＝qφ，场强与电势的关系E＝，得E＝

Δx

1ΔEpΔEp×，由数学知识可知Ep－x图象切线的斜率等于，x1处切线斜率为零，电场强度为零，qΔxΔx故A项正确； 由图可知，x1、x2、x3处电势φ1、φ2、φ3的关系为φ1＞φ2＞φ3，故B项正确；根据电势能与电势的关系Ep＝qφ，粒子在x2～x3段电势能增加，速度v随x并不是均匀减小，故C项错误；x2～x3段是直线，场强不变，是匀强电场，故D项正确。 答案 ABD

12.(2018·河北唐山模拟)粗糙绝缘的水平桌面上，有两块竖直平行相对而立的金属板A、B。板间桌面上静止着带正电的物块，如图12甲所示，当两金属板加图乙所示的交变电压时，设直到t1时刻物块才开始运动，(最大静摩擦力与滑动摩擦力可认为相等)，则( )

图12

A.在0～t1时间内，物块受到逐渐增大的摩擦力，方向水平向左 B.在t1～t3时间内，物块受到的摩擦力先逐渐增大，后逐渐减小 C.t3时刻物块的速度最大 D.t4时刻物块的速度最大

解析 在0～t1时间内，电场力小于最大静摩擦力，物块静止，静摩擦力与电场力大小相等，即Ff＝qE＝q，随电压增大，静摩擦力增大，正电荷所受电场力与电场同向，均向右，所以摩擦力方向水平向左，选项A正确；在t1～t3时间内，电场力大于最大静摩擦力，物块一直加速运动，摩擦力为滑动摩擦力，由于正压力大小等于物块的重力，所以摩擦力不变，选项B错误；t3到t4阶段，电场力小于摩擦力，但物块仍在运动且为减速运动，故t3时刻速度最大，选项C正确，D错误。 答案 AC

Ud