2009年全国新课标数学高考试卷+答案

数学（理工农医类）

选择题（每小题5分，共60分）

（1）已知集合M={x|－31（2）已知复数z12i，那么z=

5255i5255i12i1i5 2（A）5 （B）5 （C）55 （D）50b1a2b（3）平面向量a与b的夹角为60，a(2,0)， 则

（A）3 (B) 23 (C) 4 (D)12

（4）已知圆C与直线x－y=0 及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为 （A） (C)

(x1)(y1)2(x1)(y1)22222 (B) (D)

(x1)(y1)2(x1)(y1)22222

（5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有

（A）70种 （B） 80种 （C） 100种 （D）140种

S6S9（6）设等比数列{

an}的前n 项和为

7Sn，若

8S3=3 ，则

S6 =

（A） 2 （B） 3 （C） 3 （D）3

x（7）曲线y= x2在点（1，－1）处的切线方程为

（A）y=x－2 (B) y=－3x+2 (C)y=2x－3 (D)y=－2x+1 x (8)已知函数f(x)=Acos()的图象如图所示，

2211f(2)23，则f(0)=

（A）

3 (B) 3 (C)－ 2 (D) 2

0,)单调增加，则满足（9）已知偶函数f(x)在区间

1f()f(2x1)＜3的x 取值范围是

12121212（A）（3，3） (B) ［3，3） (C)（2，3） (D) ［2，3） （10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N个数据

a1，

a2，。。。

aN，其中收入记为

正数，支出记为负数。该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的 （A）A>0,V=S－T (B) A<0,V=S－T (C) A>0, V=S+T （D）A<0, V=S+T （11）正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为

（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2

E D F C H

B A xxxlog2xx（12）若1满足2x+2=5, 2满足2x+2(x－1)=5, 1+2＝

57（A）2 (B)3 (C) 2 (D)4

（13）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 h. （14）等差数列

an的前n项和为Sn，且6S55S35,则

a4

（15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。

则该几何体的体积为 m

x23（16）以知F是双曲线4PFPAy2121的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上的动点，则

的最小值为 。

（17）（本小题满分12分）

如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，21.414，62.449） （18）（本小题满分12分）

如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。

（I）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；

（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。

000

（19）（本小题满分12分）

每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、1某人向一目射击4次，

3三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。 （Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列； （Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A） （20）（本小题满分12分）

3(1,)已知，椭圆C过点A2，两个焦点为（－1，0），（1，0）。

求椭圆C的方程；

E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 （21）（本小题满分12分）

12已知函数f(x)=2x－ax+(a－1)lnx，a1。

（1）讨论函数f(x)的单调性；

f(x1)f(x2)1（2）证明：若a5，则对任意x1，x2(0,)，x1x2，有

x1x2。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明讲

已知 ABC 中，AB=AC, D是 ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A,C重合），

延长BD至E。

求证：AD的延长线平分CDE；

若BAC=30，ABC中BC边上的高为2+3，求ABC外接圆的面积。 （23）（本小题满分10分）选修4－4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（

3）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。

（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标； （2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。 （24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数f(x)|x1||xa|。 （1）若a1,解不等式f(x)3；

（2）如果xR,f(x)2,求a 的取值范围。

参

选择题（每小题5分，共60分）

(1) 【答案】B 【解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解.

1112i12i(12i)(12i)12i21 (2) 【答案】D 【解析】z12＝525

i (3) 【答案】B 【解析】由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴

a2b23 (4) 【答案】B 【解析】圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径2即可. (5) 【答案】A 【解析】直接法：一男两女,有C51C42＝5×6＝30种,两男一女,有C52C41＝10×4＝40种,共计70种；间接法：任意选取C93＝84种,其中都是男医生有C53＝10种,都是女医生有C41＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种.

S6(1q)S3S33 (6) 【答案】B 【解析】设公比为q ,则

S9S61qq1q336S3＝1＋q3＝3  q3＝2，于是

1241273 x2x2(x2),当x＝1时切线斜率为k＝－2

2 (7) 【答案】D 【解析】y’＝(x2)22π2π2ππ

(8) 【答案】B 【解析】由图象可得最小正周期为， 于是f(0)＝f(),注意到与关3332

27π2ππ

于对称，所以f()＝－f()＝3 1232

1 (9) 【答案】A 【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)； ∴得f(|2x－1|)＜f(3),再根

112据f(x)的单调性；得|2x－1|＜3 解得3＜x＜3

(10) 【答案】C 【解析】月总收入为S,因此A＞0时归入S,判断框内填A＞0 支出T为负数,因此月盈利V＝S＋T

(11) 【答案】C 【解析】由于G是PB的中点,故P－GAC的体积等于B－GAC的体积 在底面正六边形ABCDER中

3 BH＝ABtan30°＝ 而BD＝3AB 3AB

故DH＝2BH

于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC (12) 【答案】C 【解析】由题意②所以

2x12x15 ①

2x22log2(x21)5

2x152x1x1log2(52x1),

即2

x12log2(52x1)令2x1＝7－2t,代入

上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)，∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2；于是2x1＝7－2x2)

(13) 【答案】1013 【解析】

1x9801+10202+103214＝1013

1 (14) 【答案】3 【解析】∵Sn＝na1＋2n(n－1)d ∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d

∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4

(15) 【答案】4 【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3,

1 体积等于6×2×4×3＝4

(16) 【答案】9 【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5

两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立. (17)解:

在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，

故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， ……5分

ABACsinABC,在△ABC中，

ACsin60sinBCA

即AB=

sin1532206,

326因此，BD=

200.33km。

故B，D的距离约为0.33km。 (18) （18）（I）解法一：

取CD的中点G，连接MG，NG。 设正方形ABCD，DCEF的边长为2， 则MG⊥CD，MG=2，NG=

2.

因为平面ABCD⊥平面DCED， 所以MG⊥平面DCEF，

6可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=

6，所以sin∠MNG=

3为MN与

平面DCEF所成角的正弦值 ……6分 解法二：

设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.

则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得MN=(－1,1,2).

又DA=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，

MNDA6cos(MN,DA)3|MN||DA|可得

所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为

MN,DA63cos· ……6分

(Ⅱ)假设直线ME与BN共面， ……8分

则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。

又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线， 所以AB//EN。 又AB//CD//EF，

所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。

所以ME与BN不共面，它们是异面直线. ……12分 (19) （19）解：

（Ⅰ）依题意X的分列为

P 0 1681 1 3281 2 2481 3 881 4 181

………………6分

（Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2. B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2. 依题意知P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3， AA1B1A1B1A1B1A2B2,

所求的概率为

P(A)P(A1B1)P(A1B1)P（A1B1）P(A2B2)

P(A1B1)P(A1)P(B1)P（A1)P(B1)P(A2)P(B2)0.90.10.10.1

0.9 0.10.3 0 ………12分

(20) （20）解：

12（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为1b94b21，解得b3，

2b234（舍去）

x2所以椭圆方程为4y231。 ……………4分

yk(x1)3x2（Ⅱ）设直线AE方程为：

(34k)x4k(32k)x4(222，代入4y231得

32k)1202

A(1,3)2在椭圆上，所以

设

E(xE,yE)F(xF,yF),,因为点k)1224(3

xF2234k32

yEkxEk ………8分

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得

2234k

3kxEk2 4(3k)122xFyEKEFyFyExFxE1k(xFxE)2kxFxE12所以直线EF的斜率

即直线EF的斜率为定值，其值为2。 ……12分 (21) (21)解：(1)f(x)的定义域为(0,)。 f(x)xa'a1xxaxa1x2(x1)(x1a)x2分

（i）若a11即a2,则

f(x)'(x1)x2

故f(x)在(0,)单调增加。

(ii)若a11,而a1,故1a2,则当x(a1,1)时，f(x)0; 当x(0,a1)及x(1,)时，f(x)0

故f(x)在(a1,1)单调减少，在(0,a1),(1,)单调增加。

(iii)若a11,即a2,同理可得f(x)在(1,a1)单调减少，在(0,1),(a1,)单调增加. (II)考虑函数 g(x)f(x)x

12xax(a1)lnxx2'' a1x2xga1x(a1)1(a11)2g(x)x(a1)则

xx20由于1f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)0，即

f(x1)f(x2)x1x20，故

x1x21，当

0x1x2f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)x2x1时，有

x1x21·········12分

（22）解：

（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点 ∵A，B，C，D四点共圆， ∴∠CDF=∠ABC

又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB,

且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF, 对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF, 即AD的延长线平分∠CDE.

（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AH⊥BC. 连接OC,A由题意∠OAC=∠OCA=150, ∠ACB=750, ∴∠OCH=600.

3设圆半径为r,则r+

2r=2+3,a得r=2,外接圆的面积为4。

（23）解： （Ⅰ）由

cos(3)1得 (132cos2sin)1

从而C的直角坐标方程为

12x32y1即x3y20时，2，所以M(2,0)32时，233，所以N(23,2)

（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）

N点的直角坐标为(0,233)

(1.3),则P点的极坐标为(2333,6),所以P点的直角坐标为

,(,)所以直线OP的极坐标方程为

（24）解：

（Ⅰ）当a=－1时，f(x)=︱x－1︳+︱x+1︳. 由f(x)≥3得

︱x－1︳+︱x+1|≥3 x≤－1时，不等式化为 1－x－1－x≥3 即－2x≥3

x13不等式组f(x)3的解集为[2，+∞),

x)3(,32][3的解集为

2,)综上得，f( （Ⅱ）若a1,f(x)2|x1|，不满足题设条件

2xa1,xa1a,ax1, 若a1,f(x)2x(a1),x1，f(x)的最小值为1a5分 ……

2xa1,x111,1xa,2x(a1),xaa1,f(x) 若，f(x)的最小值为a1

所以xR,f(x)2的充要条件是|a-1|≥2，从而a的取值范围为(,1][3,)