中考数学几何多选题

1.如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论： ①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形． 其中，正确结论的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

1解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAN＝∠BCM，∵BF⊥AC，DE∥BF，∴DE⊥AC， ∴∠DNA＝∠BMC＝90°， 在△DNA和△BMC中，∴△DNA≌△BMC（AAS），

∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确； 在△ADE和△CBF中，

，∴△ADE≌△CBF（ASA）， ，

∴AE＝FC，DE＝BF，故③正确；∴DE﹣DN＝BF﹣BM，即NE＝MF， ∵DE∥BF，∴四边形NEMF是平行四边形， ∴EM∥FN，故②正确；∵AB＝CD，AE＝CF，

∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵AO＝AD，∴AO＝AD＝OD， ∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO＝∠DAN＝60°， ∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，∵DE⊥AC，

∴∠ADN＝ODN＝30°，∴∠ODN＝∠ABD，∴DE＝BE，

∴四边形DEBF是菱形；故④正确；正确结论的个数是4个，故选：D．

1

2如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE＝BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2

．其中正确结论的个数是（ ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

2解；∵CD为斜边AB的中线，∴AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，

∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴AE＝CE，DE＝BC；①正确； ∵EF＝DE，∴DF＝BC，∴四边形DBCF是平行四边形；②正确；

∴CF∥BD，CF＝BD，∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB的中线，∴CD＝AB＝BD， ∴CF＝CD，∴∠CFE＝∠CDE，

∵∠CDE+∠EGC＝180°，∠EGF+∠EGC＝180°，∴∠CDE＝∠EGF， ∴∠CFE＝∠EGF，∴EF＝EG，③正确； 作EH⊥FG于H，如图所示：

则∠EHF＝∠CHE＝90°，∠HEF+∠EFH＝∠HEF+∠CEH＝90°，FH＝GH＝FG＝1， ∴∠EFH＝∠CEH，CH＝GC+GH＝3+1＝4，∴△EFH∽△CEH， ∴

＝

，∴EH2＝CH×FH＝4×1＝4，∴EH＝2，

＝

＝

，∴BC＝2DE＝2EF＝2

，④正确；故选：D．

∴EF＝

2

3如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝

BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列

）a；③BE2+DG2＝EG2；

结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+

④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（ ）

A．①②③

B．②④⑤

C．①③④

D．①④⑤

解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH． ∵BE＝BH，∠EBH＝90°，∴EH＝

BE，∵AF＝

BE，∴AF＝EH，

∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，

∴∠FAE＝∠EHC＝135°，∵BA＝BC，BE＝BH，∴AE＝HC，∴△FAE≌△EHC（SAS）， ∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，∵∠ECH+∠CEB＝90°，∴∠AEF+∠CEB＝90°，∴∠FEC＝90°，

∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，

如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS）， ∴∠ECB＝∠DCH，∴∠ECH＝∠BCD＝90°，∴∠ECG＝∠GCH＝45°， ∵CG＝CG，CE＝CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG＝GH， ∵GH＝DG+DH，DH＝BE，∴EG＝BE+DG，故③错误，

∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝

x，

∴S△AEF＝•（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）

2

+a2，∵﹣＜0，

3

∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确， 当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，

在Rt△AEG中，则有（x+a）2＝（a﹣x）2+（a）2， 解得x＝，∴AG＝GD，故⑤正确，故选：D．

4如图，已知矩形ABCD中，AB3，BC4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着

MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端

点重合），过点M作MHBC于点H，连接BF，给出下列判断：①MHN∽BCF；②折痕MN的长度的取值范围为3MN15；③当四边形CDMH为正方形时，N为4155④若DFDC，则折叠后重叠部分的面积为．其中正确的是_____．（写HC的中点；

312出所有正确判断的序号）.

4【解析】

4

由折叠性质，得，BG=FG，BN=FN∴BF⊥MN∵∠BIH=∠MIG，MHBC ∴∠HBI=∠GMI∵∠MHN=∠BCF=90°∴MHN∽BCF故①结论正确；

假设F与C重合时，MN取得最小值，即为3；假设F与D重合时，MN取得最大值， ∵MHN∽BCF∴∵MH=3，BC=4，BFMHBC MNBFBCCF435∴MN222215 4∵点F在线段CD上（不与两端点重合） ∴折痕MN的长度的取值范围为3MN15故②结论正确； 4MHBC HNCF∵四边形CDMH为正方形∴MH=HC=3∴BH=1∵MHN∽BCF∴令HNx，则CN3x，FNBN1x ∴CF∴x1FNNC221x3x223∴x41x3x22 3，x23（不符合题意，舍去） 21∴HNHC，即N为HC的中点故③结论正确；

21④∵DFDC，AB=CD=3∴DF=1，CF=2∴BFBC2CF2422225 3MHBC35∴BG=GF=5∵MHN∽BCF∴∴HN=∵△FGN∽△MHN∴GN= HNCF225∴FNNG2NF222525 223353∴CNFN2CF222∴BH=BC-HN-NC=4--=1 2222∵∠EMO=∠CNF，∠MEO=∠NCF=90°∴△MEO∽△NCF∴∴折叠后重叠部分的面积为：

MENC4∴EO= EOCF3S梯形MEFNS△MEO

11151455131MEFNEFMEEO 222223125

故④结论正确；故答案为：①②③④.

5如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，按以下步骤作图：

（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点（点M在AB的上方）；

（2）作直线MN交AB于点O，交BC于点D；

（3）用圆规在射线OM上截取OE＝OD．连接AD，AE，BE，过点O作OF⊥AC．重足为F，交AD于点G．

下列结论：①CD＝2GF；②BD2﹣CD2＝AC2；③S△BOE＝2S△AOG；

④若AC＝6，OF+OA＝9，则四边形ADBE的周长为25．其中正确的结论有（ ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

5解：根据作图过程可知：

DE⊥AB，AO＝BO，OE＝OD，∴四边形ADBE是菱形，∵OF⊥AC，BC⊥AC， ∴OF∥BC，又AO＝BO，∴AF＝CF，AG＝GD，∴CD＝2FG．∴①正确； ∵四边形ADBE是菱形，∴AD＝BD，在Rt△ACD中，根据勾股定理，得 AD2﹣CD2＝AC2，∴BD2﹣CD2＝AC2．∴②正确；

∵点G是AD的中点，∴S△AOD＝2S△AOG，∵S△AOD＝S△BOE，S△BOE＝2S△AOG；∴③正确；

∵AF＝AC＝

6＝3，又OF+OA＝9，∴OA＝9﹣OF，

在Rt△AFO中，根据勾股定理，得（9﹣OF）2＝OF2+32，解得OF＝4， ∴OA＝5，∴AB＝10，∴BC＝8，∴BD+DC＝AD+DC＝8，∴CD＝8﹣AD， 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AD2＝62+（8﹣AD）2，解得AD＝∴菱形ADBE的周长为4AD＝25．∴④正确． 综上所述：①②③④．故选：D．

6

，

6如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论： ①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM； ②无论点M运动到何处，都有DM＝

HM；

③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形； ④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．

以上结论正确的有 ①②④ （把所有正确结论的序号都填上）．

6解：如图，连接DH，HM．由题可得，AM＝BE，∴AB＝EM＝AD， ∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，

∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，∴EH＝AH， ∴△MEH≌△DAH（SAS），∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH， ∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形， ∴DM＝2HM，故②正确；

当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°， ∴Rt△ADM中，DM＝2AM，即DM＝2BE，故①正确； ∵CD∥EM，EC∥DM，∴四边形CEMD是平行四边形， ∵DM＞AD，AD＝CD，∴DM＞CD， ∴四边形CEMD不可能是菱形，故③错误，

∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB， ∴∠AHM＜∠BAC＝45°， ∴∠CHM＞135°，故④正确；

由上可得正确结论的序号为①②④．故答案为①②④．

7

7如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝＝

，有下列结论：

，线段PQ在边BA上运动，PQ

①CP与QD可能相等；②△AQD与△BCP可能相似； ③四边形PCDQ面积的最大值为其中，正确结论的序号为（ ）

；④四边形PCDQ周长的最小值为3+

．

A．①④

B．②④

C．①③

D．②③

7解：①利用图象法可知PC＞DQ，故①错误．

②∵∠A＝∠B＝60°，∴当∠ADQ＝∠CPB时，△ADQ∽△BPC，故②正确． ③设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积＝）×

＝

+＝

x， ，

，故③正确，

×32﹣

×x×

×

﹣

×3×（3﹣x﹣

∵x的最大值为3﹣∴x＝

时，四边形PCDQ的面积最大，最大值＝

如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，连接CF交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′＝PQ，此时四边形P′CD′Q′的周长最小．

8

过点C作CH⊥D′F交D′F的延长线于H，交AB于J． 由题意，DD′＝2AD•sin60°＝＝

，∴CH＝CJ+HJ＝

＝

，

＝

，

，故④错误，故选：D．

，HJ＝

DD′＝

，CJ＝

，FH＝

﹣

﹣

∴CF＝

∴四边形P′CDQ′的周长的最小值＝3+

8如图，等边ABC的边长为3，点D在边AC上，AD1，线段PQ在边BA上运动，2PQ1，有下列结论： 2

①CP与QD可能相等；②ΔAQD与BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为

37313；④四边形PCDQ周长的最小值为3．其中，正确结论的序号为（ ）

216A. ①④

B. ②④

C. ①③

D. ②③

8解：①∵线段PQ在边BA上运动，PQ1， 2∴QD＜APCP∴CP与QD不可能相等，则①错误； ②设AQx，∵PQ11，AB3，∴0AQ3-=2.5，即0x2.5， 22假设ΔAQD与BCP相似，∵∠A=∠B=60°，

1xADAQ2， ∴，即

1BPBC3x32 9

从而得到2x25x30，解得x1或x1.5（经检验是原方程的根）， 又0x2.5，∴解得的x1或x1.5符合题意，即ΔAQD与BCP可能相似， 则②正确；

③如图，过P作PE⊥BC于E，过F作DF⊥AB于F，

设AQx，由PQ11，AB3，得0AQ3-=2.5，即0x2.5， 22∴PB3131∵AD1∠A =60°

x，∵∠B=60°，∴PE，，3x，2222∴DF133, 224则SPBC1131335

BCPE33xx，222242SDAQ1133AQDFxx，∴四边形PCDQ面积为：2248PBCSDAQSABCS133335333533xx+x, 2242888又∵0x2.5，

∴当x2.5时，四边形PCDQ面积最大，最大值为：3353313， +2.5=8816即四边形PCDQ面积最大值为313，则③正确； 161 个单位长度，得到D2P与AB相交于点P，连接PC，

2④如图，作点D关于直线AB的对称点D1，连接D D1，与AB相交于点Q再将D1Q沿着AB向B端平移PQ个单位长度即平移

∴D1Q=DQ=D2P，AD1D1D2AD1，且∠AD1D2=120°， 2此时四边形PCDQ的周长为：CPDQCDPQCD2CDPQ，其值最小，

10

∴∠D1AD2=30°，∠D2A D=90°，AD23， 22∴根据股股定理可得，CD2=∴四边形PCDQ的周长为：

ACAD22339 2，3=222CPDQCDPQCD2CDPQ则④错误，所以可得②③正确，故选：D．

391139, 3322229如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝12．将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H．给出以下结论：

①EF⊥BG；②GE＝GF；③△GDK和△GKH的面积相等；

④当点F与点C重合时，∠DEF＝75°，其中正确的结论共有（ ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

9解：如图，连接BE，设EF与BG交于点O，

11

∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，∴EF垂直平分BG， ∴EF⊥BG，BO＝GO，BE＝EG，BF＝FG，故①正确，∵AD∥BC， ∴∠EGO＝∠FBO，又∵∠EOG＝∠BOF，∴△BOF≌△GOE（ASA）， ∴BF＝EG，∴BF＝EG＝GF，故②正确，∵BE＝EG＝BF＝FG， ∴四边形BEGF是菱形，∴∠BEF＝∠GEF，

当点F与点C重合时，则BF＝BC＝BE＝12，∵sin∠AEB＝＝

＝，

∴∠AEB＝30°，∴∠DEF＝75°，故④正确，

由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等，故③错误；故选：C． 12