2021届河北省邯郸市高三数学一模试卷及答案

一、单项选择题

1.集合 A. 2.复数

，那么

〔 〕

B.

，

C.

〔 〕 D.

A. 2 B. -2 C. 4 D. 6 3. A. 4.函数

的局部图象大致是〔 〕

B.

，那么

C.

〔 〕 D.

A. B.

C. D.

5.构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面开展的活动．如下列图的是该校高三〔1〕、〔2〕班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图〔得分越高，说明该项教育越好〕．以下说法正确的选项是〔 〕

A. 高三〔2〕班五项评价得分的极差为1.5

B. 除体育外，高三〔1〕班的各项评价得分均高于高三〔2〕班对应的得分

C. 高三〔1〕班五项评价得分的平均数比高三〔2〕班五项评价得分的平均数要高

D. 各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大 6.抛物线 直线 A. 7.设

是双曲线

的两个焦点，O为坐标原点，点

在C的左支上，且

的焦点为F ， P为C在第一象限上一点，假设

的斜率为〔 〕 B.

C. 2 D. 4

的中点到y轴的距离为3，那么

，那么 的面积为〔 〕

A. 8 B.

C. 4 D.

8.中国古典乐器一般按“八音〞分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于?周礼·春官·大师?．八音分为“金、石、土、革、丝、木、鲍、竹〞，其中“金、石、木、革〞为打击乐器，“土、

鲍、竹〞为吹奏乐器，“丝〞为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、鲍、竹〞在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土〞与“鲍〞相邻排课，但均不与“竹〞相邻排课，且“丝〞不能排在第一节，那么不同的排课方式的种数为〔 〕

A. 960 B. 1024 C. 1296 D. 2021 9.函数 函数 A. C.

在区间

上单调递增 D.

的图象关于点

对称

的图象向右平移

，以下说法不正确的选项是〔 〕 的最小正周期为 B.

的图象关于直线

对称

个单位长度后得到函数

的图象，对于

二、多项选择题

10.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶局部的轮廓可近似看作一个正四棱锥．此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为 ，这个角接近

，假设取

，侧棱长为

米，那么〔 〕

A. 正四棱锥的底面边长为6米 B. 正四棱锥的底面边长为3米

C. 正四棱锥的侧面积为

11.新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课〞，面向2021级本科生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：小华选的不是川菜干烧大虾，选的是

平方米 D. 正四棱锥的侧面积为

平方米

烹制中式面食．乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝．三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容〔 〕

A. 可能是家常菜青椒土豆丝 B. 可能是川菜干烧大虾

C. 可能是烹制西式点心 D. 可能是烹制中式面食 12.函数

，假设关于x的方程

的取值可能是〔 〕

A. -3 B. -1 C. 0 D. 2

恰有两个不同解

，那么

三、填空题

13.平面向量

，非零向量

满足

，那么

________．〔答案不唯一，写出满足条件

的一个向量坐标即可〕 14. 15.函数

率为________． 16.在正四棱锥

中，

，假设四棱锥

的体积为

，那么该四棱

，那么 满足

的最小值为________．

，那么曲线

在点

处的切线斜

锥外接球的体积为________．

四、解答题

17.各项均为正数的等差数列 〔1〕求 18.设 〔1〕求

的通项公式；

的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， 且满足 的值；

的中点，

，求

的值．

的公差为4，其前n项和为

且

为

的等比中项

〔2〕假设点D为边

19.为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某市在其辖区内某一个县的27个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、锦、铭等重金属的含量进行了检测，

并按照国家土壤重金属污染评价级标准〔清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染〕进行分级，绘制了如下列图的条形图

〔1〕从轻度污染以上〔包括轻度污染〕的行政村中按分层抽样的方法抽取6个，求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数；

〔2〕规定：轻度污染记污染度为1，中度污染记污染度为2，重度污染记污染度为3．从〔1〕中抽取的6个行政村中任选3个，污染度的得分之和记为X ， 求X的数学期望． 20.如图，在直三棱柱

中，底面

是等边三角形，D是

的中点．

〔1〕证明： 〔2〕假设 21.椭圆 C上．

平面 ．

的余弦值

的左、右焦点分别为

，离心率为

，且点

在

，求二面角

〔1〕求椭圆C的标准方程； 〔2〕设过 22.函数 〔1〕假设 〔2〕当

在

的直线l与C交于A ， B两点，假设

上是减函数，求实数m的取值范围；

，

恒成立，求实数n的取值范围．

时，假设对任意的

，求

．

答案解析局部

一、单项选择题 1.【解析】【解答】因为

，

又 所以 故答案为：A.

【分析】根据题意首先由一元二次不等式的解法即可求出集合B再由补集和交集的定义即可得出答案。 2.【解析】【解答】解：因为 所以 故答案为：D

【分析】首先由复数代数形式的运算性质再结合题意即可求出a与b的值，由此即可得出答案。 3.【解析】【解答】由 从而 故答案为：B

【分析】根据诱导公式整理再由同角三角函数的根本关系式即可求出角三角函数的根本关系式整理代入数值计算出结果即可。 4.【解析】【解答】因为 所以 那么 而 所以

为奇函数， 的定义域为 ，故排除C；

， ， ，

， 再由二倍角公式以及同

，得

，所以

．

．

，所以

，所以

，所以

，

.

，

其图象关于原点对称，故排除B； 当

时，

，

，所以排除A ．

故答案为：D ．

【分析】 根据题意首先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行求解即可． 5.【解析】【解答】对于A，高三〔2〕班德智体美劳各项得分依次为9.5，9，9.5，9，8.5，

所以极差为 ，A不符合题意；

对于B，两班的德育分相等，B不符合题意； 对于C，高三〔1〕班的平均数为 〔2〕班的平均数为 对于D，两班的体育分相差 而两班的劳育得分相差 故答案为：C．

【分析】 根据题意由极差、平均数的定义和计算公式代入数值计算出结果，对选项逐一判断即可得出答案。

6.【解析】【解答】

，即

代入抛物线方程可得 因为F点的坐标为 故答案为：B.

【分析】 由抛物线的方程可得焦点F的坐标，设P的坐标，由题意可得中点的横坐标，由题意求出P的横坐标，代入抛物线的方程可得P的纵坐标，即可求出直线PF的斜率． 7.【解析】【解答】由

，

的中点到y轴的距离为3， ，解得 ，

，所以直线

的斜率为

．

，

，C符合题意； ，

， D不符合题意，

，

不妨设 所以 即 故 又 所以 解得： 所以 故答案为：A

是以

， ，所以点

， 在以

为直径的圆上，

为直角顶点的直角三角形，

，即 ，

，

，

．

．

【分析】 利用条件求解|OP|，判断△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形，结合双曲线的定义，转化求解三角形的面积即可．

8.【解析】【解答】由题意，排课可分为以下两大类： ⑴“丝〞被选中，不同的方法总数为 ⑵“丝〞不被选中，不同的方法总数为 故共有 故答案为：C

【分析】根据题意由排列组合以及分步计数原理解条件计算出答案即可。 9.【解析】【解答】因为 位长度后得到函数 A符合题意； 当 当 当

故答案为：C

【分析】 由题意利用三角恒等变换化简f〔x〕的解析式，利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，得到g〔x〕的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论． 二、多项选择题

10.【解析】【解答】如图，在正四棱锥

中，

时，

时， 时，

，所以

的图象关于直线

，所以

，所以函数

在间

对称，B符合题意；

上不单调，C不符合题意；

对称，D符合题意． ．其图象向右平移

的图象．所以

个单

种．

种．

种；

的最小正周期为 ，

的图象关于点

O为正方形 那么 设底面边长为 因为 所以

，

的中心， ．

，

为 的中点，

．

在 所以

中，

，底面边长为6米，

平方米．

，

故答案为：AC.

【分析】根据题意作出直观图，结合条件求解棱锥的底面边长，侧面积，判断选项的正误即可． 11.【解析】【解答】假设小华选择的是家常菜青椒土豆丝， 那么甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足条件，排除；

假设小华选择的是川菜干烧大虾，那么甲全不对，乙对一半，丙全对，满足条件； 假设小华选择的是烹制西式点心，那么甲对一半，乙全对，丙全对，不满足条件，排除； 假设小华选择的是烹制中式面食，那么甲全对，乙全不对，丙对一半，满足条件． 故小华选择的可能是川菜干烧大虾或者烹制中式面食， 所以选：BD ．

【分析】根据题意结合全对的人的情况对选项逐一判断即可得出答案。 12.【解析】【解答】因为 所以 从而 令 那么 因为 所以 所以 从而 又 所以 即

故答案为：BC．

【分析】首先结合题意整理得到

构造函数

， 的取值范围是

，

在

在

上恒成立， 上单调递增．

，

，

，

，

，

．

的两根为

，

． ，

对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，，结合函数的单

调性即可转化求解三、填空题

13.【解析】【解答】设 故答案为：〔4，-3〕

【分析】根据题意由向量垂直的坐标公式计算出结果即可。 14.【解析】【解答】因为 当且仅当 所以

，即

的最小值为16.

时等号成立，

，

，因为

，所以

，可取

．

的取值范围即可。

故答案为：16.

【分析】首先整理代数式再由根本不等式计算出结果即可。 15.【解析】【解答】由 因为 所以 故答案为：3.

【分析】 根据题意求出函数的导数，利用导数的定义求解a，然后求解切线的斜率即可． 16.【解析】【解答】如下列图：

，所以 ，

．

，可得 ，即

，那么

． ，

作 设 积为

平面 ，那么

，垂足为H ． 连接

，

，那么H为

，从而

．

的中点．

，故四棱锥

的体

，解得

外接球的球心O在

外接球的半径为R ，

由题意可知正四棱锥 设正四棱锥

上，连接 ．

那么 解得

，即

，故该四棱锥外接球的体积为

．

故答案为：

【分析】 首先利用锥体的体积公式求出锥体的棱长，进一步求出球的半径，最后求出球的体积． 四、解答题

17.【解析】【分析】 〔1〕利用条件求出首项，结合等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和公式整理即可得到求出首项，然后求解通项公式即可． 〔2〕由(1)的结论即可求出 数列

18.【解析】【分析】(1)结合条件由余弦定理以及同角三角函数的根本关系式整理即可得出答案。 (2)根据题意作出辅助线，结合三角形中的几何计算关系计算出结果即可。 19.【解析】【分析】(1)由分层抽样的定义代入数值计算出结果即可。

(2)根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。

20.【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线由中点的性质即可得出平行关系，再结合工程平行的判定定理即可得证出结论。

(2)根据题意结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面求出平面

法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面

的法向量的坐标，同理即可

的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角 的余弦值。

21.【解析】【分析】(1)首先根据题设出点的坐标意再把点的坐标代入到椭圆的方程求解出，结合离心率的公式以及椭圆的 a、b 、c 三者的关系即可求出a与b的值，从而得出椭圆的方程。

(2)根据条件即可得出直线的斜率存在由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，再把结果代入到两点间的距离公式整理得出

求解出k的值，由此即可得出

的通项公式，再利用裂项消项法，求解数列的和即可．

从而得出答案。

22.【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，由此即可得出m的取值范围。 (2)首先由条件即可把问题转化为

性质即可得出函数的单调性，由此即可得出

恒成立，即 即

对任意的

恒成立，由导函数的恒成立 ，然后讨

论

n的取值范围。

的单调性结合单调性的性质即可得出， 进而得出由此得到