数学分析试题与答案解析

2014 ---2015学年度第⼆学期《数学分析2》A 试卷

⼀. 判断题（每⼩题3分，共21分）(正确者后⾯括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f xa+?（ ）.

2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]=dx x g dx x f dx x g x f （ ）.3. 若()?+∞a

dx x f 绝对收敛，()?+∞a

dx x g 条件收敛，则()()?+∞-adx x g x f ][必

然条件收敛（ ）. 4. 若()?+∞1

dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1

n n f 收敛（ ）

5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭⼀致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭⼀致收敛（ ）.6. 若数项级数∑∞

=1n n a 条件收敛，则⼀定可以经过适当的重排使其发散于正⽆穷⼤（ ）.

7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. ⼆.单项选择题（每⼩题3分，共15分）1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?ax dx x f 在[]b a ,上（ ）A.不连续B. 连续C.可微D.不能确定

2. 若()x g 在[]b a ,上可积，⽽()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（ ）A. ()x f 在[]b a ,上⼀定不可积；B. ()x f 在[]b a ,上⼀定可积,但是()()??≠bab a

dx x g dx x f ；

C. ()x f 在[]b a ,上⼀定可积，并且()()??=bab a

dx x g dx x f ；

D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定.3.级数()∑∞=--+12111n n n nA.发散B.绝对收敛C.条件收敛D. 不确定

4.设∑n u 为任⼀项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑n

u ⼀定收敛；B. 若1lim1<=+∞→ρn

n n u u ，则级数∑n u ⼀定收敛；C. 若1,1<>?+n n u u

N n N ，时有当，则级数∑n u ⼀定收敛；D. 若1,1>>?+n n u u

N n N ，时有当，则级数∑n u ⼀定发散；5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑nn

x

a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑nnx

a 在收敛域上各点是绝对收敛的；C. ∑nnx

a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且⼀致收敛的；三.计算与求值（每⼩题5分，共10分）1. ()()()n n n n n n n +++∞→ 211lim2. ()?dx xx 2cos sin ln

四. 判断敛散性（每⼩题5分，共15分） 1.dx xx x ?∞+++-021132.∑∞=1!n nnn 3.()nnn nn21211+-∑∞

=

五. 判别在数集D 上的⼀致收敛性（每⼩题5分，共10分）1.()()+∞∞-===,,2,1,sin D n nnxx f n

2. (][)∞+?-∞-=∑,22,2D xn n

六．已知⼀圆柱体的的半径为R ，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆⾯030 ⾓向斜上⽅切割，求从圆柱体上切下的这块⽴体的体积。（本题满10分）

七. 将⼀等腰三⾓形铁板倒⽴竖直置于⽔中（即底边在上），且上底边距⽔表⾯距离为10⽶，已知三⾓形底边长为20⽶，⾼为10⽶，求该三⾓形铁板所受的静压⼒。(本题满分10分)⼋. 证明：函数()∑=3cos nnx

x f 在()∞+∞-,上连续，且有连续的导函数.（本题满分9分）2014 ---2015学年度第⼆学期《数学分析2》B 卷 ? 答案学院 班级 学号（后两位） 姓名

⼀、判断题（每⼩题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1.?2.?3.?4. ?5. ?6. ?

7. ? ⼆.单项选择题（每⼩题3分，共15分） 1. B ; 2.C ; 3.A ; 4.D; 5.B 三.求值与计算题（每⼩题5分，共10分）1.dx ex x x xnn ?+∞→310

223sin lim解：由于??≤+≤310310

223sin 0dx x dx e x x x n xn

-------------------------3分⽽ 03111limlim131

=+=+∞→∞→?

n n n n n dx x ---------------------------------4分故由数列极限的迫敛性得： 0s i n lim31223=+?∞→dx ex x x xn

n -------------------------------------5分2. 设()

x x x f sin sin 2=

，求()dx x f x

x ?-1 解：令 t x 2sin = 得()dx x f x

x ?-1=()()t d t f tt 222

2sin sin sin 1sin ?-----------------2分=tdt t tt

t t cos sin 2sin cos sin ?

=?tdt t sin 2 -----------------------------------4分 =2cos 2sin t t t C -++=C ----------------5分

四.判别敛散性（每⼩题5分，共10分）1.dx xx ?-121arctan解：()2

41arctan lim1arctan 1lim 012211π=+=---→-→xx xx x x x-------3分且 12

1<=

p ，∴由柯西判别法知， 瑕积分dx xx ?-12

1arctan 收敛 -------------------------5分2.()∑∞=2ln ln 1n nn

解：时当00,,ln lim n n N n n n >∈?+∞=+∞→

有 2ln e n > -----------------------------2分 从⽽ 当0n n >()2ln 1ln 1nn n<

-------------------------------4分 由⽐较判别法()∑∞=2ln ln 1n n

n 收敛----------------------------5分

五.判别在所⽰区间上的⼀致收敛性（每⼩题5分，共15分）1. ()()∞+==+=,0,2,1,12D n n x x f n

解：极限函数为()()D x x x f x f n n ∈==∞→lim -----------------------2分⼜ ()()nx n x n x nx x f x f n 11/11222<++=-+=

---------3分 ()()10sup n x Df x f x n∈∴<-≤

从⽽0sup lim =-∴∞→f f n n

故知 该函数列在D 上⼀致收敛. -------------------------5分2. ]1,1[,3sin 2-=∑D x nn

解：因当 D x ∈ 时，()nn nn x x u ??

≤=323sin 2--------------2分⽽ 正项级数 ∑n

32收敛， -----------------------------4分

由优级数判别法知，该函数列在D 上⼀致收敛.-------------5分 3.()()∑+∞∞-=+-,,12D nxn

解：易知，级数()∑-n

1的部分和序列{}n S ⼀致有界，---2分 ⽽ 对()n x x V D x n +=∈?21

, 是单调的，⼜由于 ()()∞→→≤+=∈?n nn x x V D x n 011,2，------------------4分所以()

+=n x x v n 21在D 上⼀致收敛于0，

从⽽由狄利克雷判别法可知，该级数在D 上⼀致收敛。------5分

六. 设平⾯区域D 是由圆222=+y x ，抛物线2x y =及x 轴所围第⼀象限部分，求由D 绕y 轴旋转⼀周⽽形成的旋转体的体积（本题满分10分）解：解⽅程组==+2

222x y y x 得圆222=+y x 与抛物线2

x y =在第⼀象限 的交点坐标为：()1,1， ---------------------------------------3分 则所求旋转体得体积为：()??--=11

22y d y dy y V ππ -------------------------------7分=------------------= 76

π ------------------------------------------------------10分

七.现有⼀直径与⾼均为10⽶的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满⽔，求从中将⽔抽出需要做多少功？（本题满分10分）

解：以圆柱上顶⾯圆圆⼼为原点，竖直向下⽅向为x 轴正向建⽴直⾓坐标系 则分析可知做功微元为：dx x xdx dW νπνπ2552=??= --------------------------------5分 故所求为：?=10215dx x W ν

π -------------------------------------8分=1250πν

=12250π（千焦）-----------------------------------10分 ⼋．设()

() 2,1=n x u n 是],[b a 上的单调函数，证明：若()∑a u n 与()∑b u n 都绝对收敛，则()∑x u n 在],[b a 上绝对且⼀致收敛. （本题满分9分） 证明：()() 2,1=n x u n 是],[b a 上的单调函数，所以有()()()b u a u x u n n n +≤ ------------------------------4分⼜由()∑a u n 与()∑b u n 都绝对收敛，

所以()()[]∑+b u a u n n 收敛，--------------------------------------7分 由优级数判别法知：()∑x u n

在],[b a 上绝对且⼀致收敛.--------------------------------2013 ---2014学年度第⼆学期《数学分析2》A 试卷

⼀. 判断题（每⼩题2分，共16分）(正确者后⾯括号内打对勾，否则打叉)1.若)(x f 在[a,b]上可导，则)(x f 在[a,b]上可积. ( )

2.若函数)(x f 在[a,b]上有⽆穷多个间断点，则)(x f 在[a,b]上必不可积。3.若??+∞+∞aa

dx x g dx x f )()(与均收敛，则?+∞+a

dx x g x f )]()([⼀定条件收敛。 （ ）

4.若(){}x f n 在区间I 上内闭⼀致收敛，则(){}x f n 在区间I 处处收敛（ ）5.若∑∞

=1n n a 为正项级数（0>n a ），且当 0n n >时有：11≥+n

n a a ，则级数∑∞=1n na

必发散。（ ）

6.若()x f 以π2为周期，且在[]ππ,-上可积，则的傅⾥叶系数为：()nxdx x f a n cos 120=ππ（ ）

） （7.若s a n n =∑∞=1，则()11

12a s a a n n n +=+∑∞== （ ）

8.幂级数在其收敛区间上⼀定内闭⼀致收敛。（ ） ⼆. 单项选择题（每⼩题3分，共18分） 1. 下列⼴义积分中，收敛的积分是（ ）A101dx xB∞+11dx xC+∞0sin xdx D-1131dx x2.级数∑∞=1

n n a 收敛是∑∞=1

n n a 部分和有界的（ ）A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D ⽆关条件3.正项级数∑nu

收敛的充要条件是（ ）A.0lim =∞

→n n u B.数列{}n u 单调有界

C. 部分和数列{}n s 有上界D.1lim1<=+∞→ρnn n u n4.设a a a nn n =+∞→1lim

则幂级数()1>∑b x a bn n 的收敛半径R=（ ）A. aB. ba 1C. a 1D.ba 11??

5. 下列命题正确的是（ ）A)(1x an n∑∞

=在],[b a 绝对收敛必⼀致收敛B)(1x an n∑∞

=在],[b a ⼀致收敛必绝对收敛C 若0|)(|lim =∞→x a n n ，则)(1x a n n ∑∞

=在],[b a 必绝对收敛D)(1

x an n∑∞

=在],[b a 条件收敛必收敛

6..若幂级数∑n n x a 的收敛域为(]1,1-,则幂级数∑n n x a 在(]1,1-上A. ⼀致收敛B. 绝对收敛C. 连续D.可导

三. 求值或计算（每题4分，共16分）1. ()dx x x x ln 1+?；2.?dx xx cos sin 13．()dx ex x x--?+11.

4.设()x f 在[0,1]上连续，求()d x x fnn ?∞→1lim

四.（16分）判别下列反常积分和级数的敛散性. 1.?+∞+-13243

32x x dx ；2. dx x x ?++1)1ln(113.∑∞=-21

ln n nn n；4.∑∞=1!n n n nn e

五 、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的⼀致收敛性（每题5分，共10分）1. ),(;,2,1,)(42∞-∞∈=+=-x n n x x f n2.nn n n x 13)1(21∑∞

=-+ ；()()+∞?-∞-=∈,5.05.0,D x六.应⽤题型（14分）

1. ⼀容器的内表⾯为由2x y =绕y 轴旋转⽽形成的旋转抛物⾯，其内现有⽔π（3m ），若再加⽔7π（3m ），问⽔位升⾼了多少⽶？

2. 把由x e y -=，x 轴，y 轴和直线ε=x ()0>ε所围平⾯图形绕x 轴旋转得⼀旋转体，求此旋转体的体积()εV ，并求满⾜条件()()εεV a V +∞→=lim 21的a .

七．证明题型 （10分）

已知()x f 与()x g 均在[a,b]上连续，且在[a,b]上恒有()()x g x f ≤，但()x f 不恒等于()x g ，证明： ?aba

dx x g dx x f )()(

2013 ---2014学年度第⼆学期《数学分析2》B 试卷

学院 班级 学号（后两位） 姓名

⼀、判断题（每⼩题2分，共18分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1.对任何可导函数()x f ⽽⾔，()()C x f dx x f +='?成⽴。（ ）2.若函数()x f 在[]b a ,上连续，则()()dt t f x F bx ?-=必为()x f 在[]b a ,上的

原函数。（ ）3.若级数∑∞

=1n n a 收敛，必有0lim =∞→n x na 。（ ）4.若1lim>=∞→λn

n n a ，则级数∑∞=1n n a 发散.5.若幂级数∑+∞=1

n n n x a 在2=x 处收敛，则其在[-2,2]上⼀致收敛.（ ）6.如果()x f 在以a,b 为端点的闭区间上可积，则必有()()dx x f dx x f baba≤.（ ）

7.设()x f 在[)∞+,1上有定义，则()dx x f ?+∞1

与级数()∑+∞=1

n n f 同敛散.（ ）

8.设()x f 在[)b a ,任⼦区间可积，b 为()x f 的暇点，则()?badx x f 与dt t t b f ab 2111?∞+-??? ?

-同敛散.（ ）

9.设(){}x f n 在()()b x x a D ,,00?=上⼀致收敛，且()n n x x a x f =→0lim ()

N n ∈存在，则()()x f x f n n x x n x x n ∞→→→∞→=lim lim lim lim 00.

⼆.单项选择题（每⼩题3分，共15分）1. 函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（ ）A 连续B 有界C ⽆间断点

D 有原函数 2. 下列说法正确的是（ ）A.∑∞=1n na

和∑∞=1n n b 收敛，∑∞=1n n n b a 也收敛B.∑∞=1n na和∑∞=1

n n b 发散，∑∞=+1

)(n n n b a 发散C.∑∞=1n na收敛和∑∞=1

n n b 发散，∑∞=+1

)(n n n b a 发散

D.∑∞=1n na

收敛和∑∞=1n n b 发散，∑∞=1

n n n b a 发散3.)(1x an n∑∞

=在],[b a 收敛于)(x a ，且)(x a n 可导，则（ ）A.

()x a x a n n '='∑∞=)(1 B. )(x a 可导C.∑=∞=ban b a

n dx x a dx x a )()(1D.∑∞=1)(n nx a

⼀致收敛，则)(x a 必连续4.级数()∑∞=--+12111n n n nA.发散

B.绝对收敛C.条件收敛D. 不确定5.幂级数∑∞=+0212n nn x n的收敛域为：A.（-0.5,0.5）B.[-0.5,0.5]C.[)5.0,5.0-D.(]5.0,5.0- 三.求值与计算题（每⼩题4分，共16分）1. dx xx x ?+2sin 2cos sin2. dx x x x ?-+123. ()()[]nn n n n n n111lim -++∞→4.dx b a x ba ?--2