平面向量常见题型解法例析

知识篇•知识结构与拓展高一数学2018年&月

3.平面向量的数量积问题

! # 如图1所示，在AABC中，AD丄

珥面向量常刃

题型鼦沽側珩

■曹红阳

解：由AD丄AB，可得AD_AB=0。由

平面向量是一个具有几何与代数双重身 IAD | =1，可考虑用A#，AD作为基底来表示向 份的概念，同时平面向量作为一种工具常与 量AC和AD，因此只需将AC表本出来即可。

其他知识交汇命题，其考题形式灵活，解题方 由互C = 3互#，可得BD i DC = 1:

法多样。下面举例分析平面向量常见题型的解法。

($—1)，所以AD'^3^^A—^.^AC，解得!平面向量的线性运算问题

! / 设AC = $ A# — (/3 —丄）\"#。所以\"(5- D为AABC所在平面内的一 点，且

石

#，则\"

)0

AD= ) $ AD — ( /3 —1 ) AB * • AD =$AD#2 = 3。

A_A' = —$1 —AB# +$%A —C

#评析：解答平面向量的数量积问题，关键 b

.^ ^ ' = 1 —# — $%\" —C

#是选择合适的基底，并把目标向量表示成基 底的线性运算。

c. ^^ d =% y--\"#

1b --#

%平面向量的综合应用问题!

已知AABC是边长为2的等边D. AD ' 3% —\"# — 3i —\"C

#

- 三角形，P为平面ABC内的一点，则瓦# •

解：由题意可得\"#'\"C+C#'\"C +

的最小值是_____。

解：坐标法）以BC为x轴，BC的中点为

y1 —C# 'C—# + y1 A—C# — ) = —1y —

#

,

坐标原点，建立直角坐标系（图略），则点A(0, 3AC !应选A !

//)，点 B( — 1，0)，点 C(1，0)。

评析：平面向量的线性运算是向量运算 设点 P (x，：y )，则 PA = (—x，/// —夕）， 的基础，解题时，要以向量运算的平行四边形 1# = ( — 1 — x，— + )，1C = (1 — x，— + )，所以法则和三角形法则为核心，结合几何图形，选 Pa •

(Ipb, jpC) = 2x2 —2 $+,2+2 =

择适当的基底，化简求解。

2[x2+(+—2) —|_。

2.平面向量的共线（平行）与垂直问题 !

— 已知向量 a ' (1，m )，fc ' (3,

故当 x = 0 时，P# _(1# + 1(5)

—2)，且（《+fc)丄则 m=_____!

解：由 a+fc'(%，m — 2)，a , b) I b ^可 取得最小值为一2。

得 ％X3 + (m — 2) X ( — 2) = 0,解得 m'8!

评析：向量具有代数特征，故可建立直角 评析：向量的共线问题可利用非零向量 坐标系，利用坐标法求解。

共线的充要条件a % b0a ' Ab进行转化求 作者单位：福建泉州市马甲中学

解，向量的垂直问题可应用向量垂直的充要 (责任编辑王琼霞）条件a丄b0a & b'0进行运算求解。

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