数列基本知识点

第二章：数列

1、数列中an与Sn之间的关系： ,(n1)S1anSnSn1,(n2).注意通项能否合并。

2、等差数列： ⑴定义：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即an－

an1=d ,(n≥2,n∈N)，

那么这个数列就叫做等差数列。

ab2

⑵等差中项：若三数a、A、b成等差数列

A⑶通项公式：

ana1(n1)dam(nm)d

或

anpnq(p、q是常数）.

⑷前n项和公式：

nn1na1and22

Snna1⑸常用性质：

①若

mnpqm,n,p,qN

，则amanapaq；

②下标为等差数列的项ak,akm,ak2m,，仍组成等差数列；③单调性：an的公差为d，则： ⅰ）d0an为递增数列； ⅱ）d0an为递减数列； ⅲ）d0an为常数列；

④数列{an}为等差数列anpnq（p,q是常数）

⑤若等差数列an的前n项和Sn，则Sk、S2kSk、S3kS2k…是等差数列。

3、等比数列 ⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。

2Gab,（ab同号）a、G、b⑵等比中项：若三数成等比数列。反之不一定成立。

⑶通项公式：

ana1qn1amqnm

⑷前n项和公式：

a11qn1qSna1anq1q

⑸常用性质

①若

mnpqm,n,p,qN

amanapaq，则；

②

ak,akm,ak2m,kq为等比数列，公比为(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)

③单调性：

a10,q1或a10,0q1

an为递增数列；

a10,0q1或a10,q1an

为递减数列；

q1an为常数列；

q0an为摆动数列；

④既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。

⑤若等比数列an的前n项和Sn，则Sk、S2kSk、S3kS2k… 是等比数列.

4、非等差、等比数列通项公式的求法 类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。

类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列an的通项an可用公式

,(n1)S1anSnSn1,(n2)构造两式作差求解。

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二

为一”，即a1和an合为一个表达，（要先分n1和n2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。

类型Ⅲ 累加法： 形如an1anf(n)型的递推数列（其中f(n)是关于n的函数）可构造：

anan1f(n1)aan1n2f(n2)...a2a1f(1)

将上述n1个式子两边分别相加，可得：

anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)

①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

② 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和.

类型Ⅳ 累乘法： an1f(n)an1anf(n)an型的递推数列（其中f(n)是关于n的函数）可构造：形如

anaf(n1)n1an1f(n2)an2...a2af(1)1

将上述n1个式子两边分别相乘，可得：

anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

类型Ⅴ 构造数列法： ㈠形如an1panq（其中p,q均为常数且p0）型的递推式： （1）若p1时，数列{an}为等差数列;

（2）若q0时，数列{an}为等比数列;

（3）若p1且q0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：

法一：设an1p(an),展开移项整理得an1pan(p1),与题设an1panq比较系

数（待定系数法）得

qqq,(p0)an1p(an)p1p1p1

qqp(an1)p1p1

anqqaa1n,即p1构成以p1为首项，以p为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求qanp1的通项整理可得an. 出法二：由an1panq得anpan1q(n2)两式相减并整理得

以a2a1为首项，以p为公比的等比数列.求出可求出an.

an1anan1anp,anan1即an1an构成

的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便

㈡形如an1panf(n)(p1)型的递推式： ⑴当f(n)为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设

anAnBpan1A(n1)B

B的值，转化成以a1AB为首项，以p为公比的等比数列，通过待定系数法确定A、anAnB，再利用等比数列的通项公式求出anAnB的通项整理可得an.

法二：当f(n)的公差为d时，由递推式得：an1panf(n)，anpan1f(n1)两式相减

得：

an1anp(anan1)d

，令bnan1an得：bnpbn1d转化为类型Ⅴ㈠求出 bn，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出an.

⑵当f(n)为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设

anf(n)pan1f(n1)

，通过待定系数法确定的值，转化成以a1f(1)为首项，以p为公比的等比数列

anf(n)，再利用等比数列的通项公式求出anf(n)的通项整理可得an.

法二：当f(n)的公比为q时，由递推式得：an1panf(n)——①，anpan1f(n1)，

两边同时乘以q得anqpqan1qf(n1)——②，由①②两式相减得

an1anqp(anqan1)

，即

an1qanpanqan1，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出an.

法三：递推公式为

an1panqn（其中p，q均为常数）或

an1panrqn（其中p，q, r

an1pan1•nn1n1qqqqq均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列bn（其中

bnanp1bbn1nqn）qq再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。 ，得：

⑶当f(n)为任意数列时，可用通法： an1anf(n)anf(n)bbbnn1nn1n1nn1nn1an1panf(n)pppppp在两边同时除以可得到，令，则，

在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得

bnanpnbn.

5、非等差、等比数列前n项和公式的求法 ⑴错位相减法 abab①若数列n为等差数列，数列n为等比数列，则数列nn的求和就要采用此法.

②将数列anbnb的每一项分别乘以n的公比，然后在错位相减，进而可得到数列

anbn的前n项和.

此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法. ⑵裂项相消法 一般地，当数列的通项差，采用裂项相消法求和.

anc(anb1)(anb2)(a,b1,b2,c为常数）

时，往往可将an变成两项的

可用待定系数法进行裂项：

anb1设

ananb2，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得

cb2b1，

从而可得

cc11=().(anb1)(anb2)(b2b1)anb1anb2

常见的拆项公式有：

111；n(n1)nn1①

②

1111();(2n1)(2n1)22n12n1

③

11(ab);abab

m1mmCnCn1Cn;④

⑤nn!(n1)!n!.

⑶分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.

⑷倒序相加法 a如果一个数列n，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写

与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：a1ana2an1...

⑸记住常见数列的前n项和：

①

n(n1);2

123...n②

135...(2n1)n2;

③

1122232...n2n(n1)(2n1).6