数学篇 ·思路·方法·技巧· 《数理化解题研究》２００２ 第８期 例谈数学归纳法的八种表坝形式 ★江苏省沭阳高级中学 （２２３６００）徐辉●唐淑红● 数学归纳法是高中数学中最基本也是最重要的方 法之一，它的实质在于将一个无法（或是很难）穷尽 ｓｉｎｓ（ｋ ｉｎ ＋ １）０’ ：—ｓｉｎ（ｋ＋２）０ａｋ￣ｌ 则当，ｌ：ｋ＋２时， ＿ｓｉｎＯ ’ 、 ＿一’’ 。。。’ 验证的命题转化为证明两个普遍命题：“ｐ（１）真 和 若ｐ（ｋ）真，则ｐ（ｋ＋１）真 ．数学归纳法有多种表现形 式，下面我们结合例题对此作一个简要的阐述． 第一数学归纳法此即高中数学所学习的数 学归纳法，设 ）是关于自然数，ｌ的命题，若 ｔ ①（奠基）ｐ（Ｉ）成立； ②（归纳）假设ｐ（ ）成立可以推出ｐ（ｋ＋１）成 立，则ｐ（ｎ）对一切自然数，ｌ均成立． 例１（参见例６）． 二、第二数学归纳法设ｐ（ｎ）是关于自然数，ｌ的 命题，若 ①（奠基）ｐ（１）成立； ②（归纳）假设当／１≤ 为任意自然数）时ｐ（１ ≤，ｌ≤ ）成立可以推出ｐ（ｋ＋１）成立，则ｐ（ｎ）对一切 自然数ｎ均成立． 第二数学归纳法的变式： ①ｐ（１），ｐ（２）成立； ②假设ｐ（ｋ—１）￣ｌｐ（ｋ）成立，可以推出ｐ（ｋ＋１） 成立，则ｐ（ｎ）对一切自然数／１成立． ：、 例２ 已知数列ａ＿ｌ，ａｏ，ａ 一，ａｎ，…，其中ａ一１ ＝０， ＝ｌ，ａｎ＝２ｃｏｓＯ·ａ 一１一ａ 一２（１／ ｌ，２，…）求 （ ２．．）． 证明（１）１／＝ｌ时，左边＝ａｌ：２ｃｏｓＯ．ａｏ—ａ一｝＝２ｃｏｓＯ ０＝２ｃｏｓ０，右边＝ ＝２ｃｏｓＯ，故当，ｌ＝ｌ时 命题成立． 当ｎ＝２时，左边＝ｏａ＝２ｃｏｓＯ·ａＩ—ａｏ＝４ＣＯＳ ０一ｌ， 右边＝ ＝—３ｓｉｎ Ｏ － ４ｓｉｎ３０＝３—４ｓｉｎ２０ｓｌｎｏ Ｓｍ口 ＝４Ｃ０Ｓ２０—１，故当，ｌ＝２时命题也成立． （２）假设当 ＝ ，ｎ＝ｋ＋ｌ时命题成立，即ａｋ＝ ａｋ＋２＝２Ｏｏｓ · 一 ＝２ｃｏｓ ·—ｓｉｎ （ｋ＋２）０ｓｉｎ（ｋ＋Ｏ０— ２ｃｏｓＯｓｉｎ ＋１）＋ｑ０一ｓｉｎ（ｋ＋Ｊ）ｏ ｓｉｎＯ ｓｉｎＯ ２ｃｏｓＯ［ｓｉｎ（ｋ＋１）ＯｃｏｓＯ＋ｃｏｓ（ｋ＋１）０ｓｉｎＯ］一ｓｉｎ（ｋ＋Ｏ０ ｓｉｎＯ （２ｃｏｓ ０—１）ｓｉｎ（ｋ＋１）Ｏ＋２ｓｉｎＯｃｏｓＯｃｏｓ（ｋ＋１）Ｏ ｓｉｎＯ ｃｏｓ２Ｏｓｉｎ（ｋ＋１０）＋ｓｉｎ２Ｏｃｏｓ（ｋ＋１０） ｓｉｎ（ｋ＋３）ｏ ｓｉｎ０ 所以，ｌ＝ ＋２时命题也成立． 由（１）（２）可知原命题对一切自然数均成立． 三、跳跃式数学归纳法设ｐ（ｎ）是关于自然数，ｌ 的命题，若 ①ｐ（１），ｐ（２），…，ｐ（ｆ）成立； ②假设ｐ（ｋ）成立（ 为任意自然数）可推出ｐ（ｋ＋ ｆ）成立，则ｐ（ｎ）对一切自然数，ｌ成立． 例３ 试证用面值为３分和５分的邮票可支付 任何ｎ（ｎ＞７，ｎ∈Ｍ分的邮资． 证明（１）当，ｌ＝８，９，…，ｌ５时，直接验证知命题 成立． （２）假设当，ｌ＝ｋ（ｋ＞７）时命题成立，则当，ｌ＝ｋ＋８ 时，命题显然也成立 由（１）（２）可知原命题成立． 四、双重数学归纳法 设ｐ（ｍ，，１）是与两个的自然数ｍ和，ｌ有关 的命题，若 ①ｐ（１，１）成立； ②对任意的自然数 ，ｆ，假设ｐ（ｋ，Ｄ成立可以 推出ｐ（ｋ＋ｌ，Ｄ和ｐ（ｋ，ｆ＋１）都成立，则对任意自然 数ｍ和，ｌ，ｐ（ｍ，，１）都成立． 例４ 已知ｍ，ｎｅＮ，求证：２ ＞ｍ ． 数学篇 证明（１）当ｍ＝ｌｌ＝ｌ时，显然不等式成立． （２）对任意的ｋ，ｆ，假设有２“＞ｋ 和２“＞ｆ ，则 ２（ｋ＋Ｉ｝／＝２“２ ＞Ｊｃ ２＝（２ｋ） ≥（Ｊｃ＋Ｊｙ， ２ｋ（ｔ＋Ｉ￣＝２ｋｌ２ ＞ｔ＂２ （２ ≥（ｆ＋ｌ ， 即ｐ（ｋ＋ｌ，ｆ）和ｐ（ｋ，ｆ＋１）都成立． 由（１）和（２）知原命题成立． 五、跷跷板数学归纳法有两个与自然数有关的 命题 ， ，若 ① ．成立； ②假设 成立可推出 成立；假设 成立可 推出 …成立，则对于任意自然数／１，命题 和Ｂ 均成立． 例５设０＜口＜ｌ，已知口， ｌ＋口，口 １＋口 （九≥２），求证对任意 Ｊｖ，都有ｌ＜口 ＜Ｔ ． 证令 口 ＜Ｔ ． 口 ＞１． （１）当ｎ＝１时，口１＝ｌ＋口＝ ＜击，故 ． 成立． 当 时 去＋口＝击＋ａ＝等警 ＜ ＝ｌ＋口＝ ＜＿Ｌ故Ａ ２成立． １＋ａ １一ａ １一ａ （２）假设当２≤ｎ≤Ｊｃｃ时， 成立，即有口 ＜ １ （２≤ｎ≤ 则 ＝亡＋口＞ １ ＋ ｌ ＋口 １一ａ １，故 成立． 假设Ｅ。成立，即口 ＞ｌ（ｎ≥ ），则ａｎ＋Ｉ－ １＋口＜ ＋口＝｛三孚＜ １，故 川成立． 综上（１）和（２）所述知对任意的，ｌ，Ａ 和Ｂ 均成 立，故对任意的ｎ∈～，都有ｌ＜口 ＜ １ 六、反向数学归纳法设 ，１）是关于自然数ｆ１的 命颗．若 《数理化解题研究》２００２年第８期 、 ①ｐ（ｎ）对无限每个自然数ｔｌ成立， ②假设ｐ（ｋ＋１）成立可推出ｐ（ｋ）成立，则命题对 切自然数ｌｌ都成立． 例６ 设口ｌ，口２，…．ａｉｆＲ ，求证√ａｌ口２… ≤ ± ±：：：± ｒ 、 证 （１）首先证明当ｎ＝２ 时不等式√口 口 … ≤ ± ＋＿二± 成立（对ｍ用第一数学归纳法）ｒＩ １。当ｍ＝１时，ｎ＝２ｍ＝２，√ ≤ 显然 成立． ０ 假设当ｍ＝ｋ（ｋｅＮ）即ｎ＝２‘时，有 ≤ ！± ± ’ ，则当ｍ＝Ｊｃ＋１，即ｎ＝２¨ 时， ～ｌ、／口１ 一口２‘一ａｅａｅ十１口 ＋２‘‘‘ａｅ 一、／√ａｔａ２一＂ａｅａｅ＋ｌ口２Ｉ＋２‘‘‘口 ‘ 、、／√ｌ碍 ａ ａ ２…口２Ｉ‘√ ＋ｉａ ２ “ ＋２…口２Ｉ＋· ≤ 一 √ ／ ± ±．２‘ ：：：± 兰． 芏！！± 兰±２ 二二 ≤ ａｌ＋ａ２＋‘－‘＋口 ２２Ｉ＋ｌ＋口 ＋２＋‘‘‘＋钟＋ ————．＝ ——一十——————— ————一 故当ｍ＝良 ＋１时，不等式也成立． 从而当ｎ：２ｍ时，不等式 ≤ ± 成立． （２）（对ｎ用反向数学归纳法）假设当ｌｌ 良＋１ 时，（ ）式成立，则当ｎ： 时，令 ： ± 从而‘ ■ ≤ ａｌ＋口！＋‘‘‘＋ ＋ 一 ± ： 所 ． ≤ 即 ≤ 故当ｌｌ＝ｋ时．（ ）式也成立． 由（１）和（２）可知，对一切自然数ｎ．（ ）式都成 立．
