数学篇——数列讲解

第五章 数列

学习要求：

1.了解数列和其通项公式、前

n项和的概念

n项和公式解决有关问题. n项和公式解决有关问题.

2.理解等差数列、等差中项的概念，会用等差数列的通项公式、前

3. 理解等比数列、等比中项的概念，会用等比数列的通项公式、前

一、数列的概念

1.定义

按照一定顺序排列的一列数，数列里的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第一项，第二项，

，第

n项，

，第一项也叫首项.

一般地，常用1a，a2，a3，an

aan nn来表示数列，其中是数列的第项，又叫做数列的通项.数列记为

例如,数列

1,3,5,7,2n1,

第1项是1，第2项是3，第3项是5，

2n1n2n1，第项是，数列记作

2.数列的通项公式

an的第n项an与项数n之间的关系，如果可以用一个公式来表示，那么这个公式数列

就叫做这个数列的通项公式.

例如，数列

1,3,5,7,2n1,

a2n1n通项公式是.

3.数列的前

n项和

对于数列1a,a2,a3,,anan

称1aa2a3Sn为这个数列的前项和，记作n.

即

Sna1a2a3an

an的an与Sn的关系 4.数列

2aaS3n2nnn的通项公式an nn例1 已知数列的前项和，求数列

解析: 由

Sn3n2n得

2所以，当

n2时

2n1,aS31211,11当

满足公式

an6n5

an6n5

所以数列的通项公式为

历年试题

（2014年试题）

2aSn2nnnn2.已知数列的前项和，求

an（I）的前三项； an（II）数列的通项公式

解析 ：

（I）

（II）当

n2,

22当

anSnSn1n2n[(n1)2(n1)]2n3n1时a11,满足an2n3

a2n3n所以数列的通项公式为

（2007年试题）

an前n项和Snn(2n1) 已知数列

（I）求该数列的通项公式；

（II）判断39是该数列的第几项.

解: （I）当

n2,

22anSnSn12nn2(n1)(n1)4n1当n1时1a3,满足an4n1

a4n1n所以数列的通项公式为

(II)设39是该数列的第

n项，则394n1,n10，即39是该数列的第10项

二、等差数列

1. 等差数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于一个常数，这个数列就叫等差数列，这个常数叫做公差，记为

d，即danan1

等差数列的一般形式为

2.等差数列的通项公式

aan设是首项为1，公差为d的等差数列，则这个数列的通项公式为

3.等差数列的前

n项和公式

an是首项为a1，公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则 设

1Snna1n(n1)d2或

4.等差中项

ACBA,B,C称等差数列，B就称为A与C的等差中项，则2 如果

注：一般证明一个数列是等差数列时，经常是按它们的定义证明

an1and为常量

5. 等差数列的性质

（1）在等差数列中，间隔相同抽出的项来按照原来的顺序组成新的数列仍是等差数列.

对于等差数列1a,a2,a3,,a2n1,an

数列1差数列

a,a3,a5,也是等差数列，数列2a,a4,a6,,a2n也是等

数列1a,a5,a9,a13也是等差数列

an中，已知a24,a79，求a12 例2如在等差数列

a,a,a2712解析：aa94572构成等差数列，因为，所以

a12a759514

am,n,s,t均为正整数，且mnst，则n（2）对等差数列，若

amanasat

如1aa9a2a8a3a7a4a62a5

aaa10an28例3在等差数列中，已知，求5

解析：因为

a2a8a5a5，即

2a5a2a8,所以，

(a2a8)10a5522

an为等差数列,其中a59,a1539，则a10 例4设

（A）24 （B）127 （C） 30 （D）33

解析:解法一

a14d9aa14d39aa(n1)dn1n1由等差数列的通项公式知

解法二

an为等差数列，所以a5,a10,a15也是等差数列，所以，a10是a5与a15的等差中项，

an中，如果a22,a35，则S10_________ 例5在等差数列

解

析

：

da3a2523，由

a2a1d,得

a1a2d231

an中，若a4a5a690则其前9项的和S9（ ） 例6等差数列

A.

300 B.270

C.

540 D.135

aaa2aaaa90n465456解析：是等差数列，所以，由得

3a590，a530

(a1an)(a1a9)SnnS9922由得，，

又1aa92a5，

所以

，选B

历年试题

（2013年试题）

等差数列{an}中，若a12,a36，则a2

A. 3 B. 4 C. 8 D. 12

aa1a32624解析：22

（2012年试题）

已知一个等差数列的首项为1，公差为3，那么该数列的前

5项和为（A.

35 B.30 C.20 D. 10

S1nna1n(n1)d解析：由2得

选A

（2011年试题）

）

aann的前n项的和记作Sn，且S20840. 已知等差数列的首项与公差相等，aan（Ⅰ）求数列的首项1及通项公式； an（Ⅱ）数列的前多少项的和等于84? adan1 解析: （Ⅰ）已知等差数列的公差

20(201)S2020a1d20a1190d210a12又

210a1840，所以，a14

即

daaa(n1)d4(n1)44nd41n1又，即，所以，

aa4nnn即数列的通项公式为

(a1an)(44n)2Snnn2n2nS84n22（Ⅱ）设，又 ，

即

2n2n84，解得n6,n7（舍去）

2

an的前6项的和等于84. 所以数列

（2009年试题）

面积为6的直角三角形三边的长由小到大成等差数列，公差为

d，

⑴求

d的值;

d的等差数列中，102为第几项？

⑵在以最短边的长为首项，公差为

解析:（I）由已知条件可设直角三角形的边长分别为

ad,a,ad,其中a0,d0,

则

(ad)a(ad)3d,4d,5d

222，得

a4d

三边长分别为

故三角形三边长分别是

3,4,5.公差d1

(II)以3为首项，1为公差的等差数列通项公式为

故第

100项为102

（2008年试题）

an中, a19,已知等差数列

an的通项公式; ⑴ 求数列

a3a80.

an的前n项和Sn取得最大值, 并求该最大值. n⑵ 当为何值时, 数列

aaa0,2a9d0.d,n381解析:⑴ 设等差数列的公差为 由已知 得

又已知1a9,所以d2.

aa92n1,a112n. nn数列的通项公式为即nan的前n项和 ⑵ 解法一：数列

n22Sn9112nn10nn525.2当n5时，

Sn取得最大值25.

11an112n0n,a112n, 令2所以数列前解法二：由⑴知n

5454S55a1d59225.225项的和最大，最大值为

三、等比数列

1. 等比数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数，这个数列就叫等比数列，

anqaqn1 这个常数叫做公比，记为，即

等比数列的一般形式为

2.等比数列的通项公式

an是首项为a1，公比为q的等比数列，则这个数列的通项公式为 设

3.等比数列的前

n项和公式

an是首项为a1，公比为q的等比数列，Sn为其前n项和，则 设

a1anqSn(q1)1q或

4.等比中项

2A,B,CBAC或如果称等比数列，B就称为A与C的等比中项，则

BAC

an1qan注：一般证明一个数列是等比数列时，经常是按它们的定义证明为常量

5. 等比数列的性质

（1）在等比数列中，间隔相同抽出的项来按照原来的顺序组成新的数列仍是等比数列.

a,a,a,123对于等比数列

数列1比数列

,an

a,a3,a5,,a2n1也是等比数列，数列2a,a4,a6,,a2n也是等

数列1a,a5,a9,a13也是等比数列

aa6,a24,an246例7如在等比数列中, 则（ ）

A. 8 B. 24

C. 96 D. 384

aa246解析：a2,aa444,a6是等比数列，因为4a26，

a64a442496，选C

（2）对等比数列an，若

m,n,s,t均为正整数，且mnstamanasat

2如

a1a9a2a8a3a7a4a6a5

例如在等比数列an中，已知a1a516，求a3 2解析：a3a1a516，即a3164

例8设等比数列an的各项都为正数，若a31,a59，则公比q=

（A）3 （B）2 （C） -2 （D）-3

解析:由等比数列

an1n的通项公式ana1q知

则，

an的公比q=2，且a2a48则a1a7 例9设等比数列

（A）8 （B）16

（C） 32 （D）64

n1an的通项公式ana1q知

解析: 由等比数列

q__________

解析：

aaa2S5,a2S5nn的公比3243例10在等比数列中，若，则

a4a32S35(2S25)2(S3S2)，又S3S2a3，所

以

a4a32a3，

a4a43a3,q3a3即，填3

aa210,a320，S__________ n中，例11已知等比数列那么它的前5项和5

a320q2a10,a320，可求得公比a210解析：由2，从而

a210a15q2

a1(1q)5(12)S51551q12所以，填155 aa2,n1例12已知等比数列的各项都为正数，前3项的和为14

（I）求该数列的通项公式；

55bbloga,n的前20项的和 n2n（II）设求数列aqn解析: （I） 设等比数列的公比为,则

22q2q14所以qq60,q12,q23(舍去)

所以数列的通项公式为

22an2n

（II）nblog2anlog22n则

n

an例13 设为等差数列,且公差d为正数,

a已知2a3a415,又a2,a31,a4成等比数列

an为等差数列知 解析: 由

由此得

历年试题

（2015年试题）

aa9,则a1 n若等比数列的公比为3,411A. 9 B. 3

C.

3 D. 27

（2014年试题）

1an中,若a28,公比为4,则a5____________ 等比数列

（2015年试题）

1d0,a1an2，且a1,a2,a5成等比数列 已知等差数列的公差an的通项公式 （I）求数列

an的前项和Sn50，求n. （II）若数列

（2013年试题）

aqn中, a24,a532 已知公比为的等比数列

（I）求

q；

aSn（II）求的前6项和6

3aqa5，即4q32，解得q2 解:（I）由已知得213aaq212（II）

（2012年试题）

aaaa27n123已知等比数列中,

a（I）求2；

aaaaa13q1,nn123（II）若的公比且，求的前5项和 aaaan132解析:（I）因为为等比数列，所以

2aaa27123，又，可得

a227，

所以

3a23

aaa13a3aa10123213（II）由，得，

由123aaa27,a23得a1a39，

a1a310aa9a1或a19 13解方程组，得1

a19a111qq3a33（舍去） 2由，得或1(13)S1215an13所以的前5项和

（2010年试题）

51a2,aa1n1nan中，2 已知数列

an（1）求数列的通项公式 aSn（2）求数列前5项的和5

an111an0,,an2所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所

解析：（1）由已知得

1an22以

（2）

n1，即

an12n2

1212S5112（2006年试题）

5318

1a16,公比q3an2 已知等比数列中,

（I）求该数列的通项公式；

（II）求该数列的前7项的和

解析: （I）

1a3a1q16a1a16441n1an64()2

2因此该数列的通项公式为

1764[1()]2s7127112（II）该数列的前7项的和