一、选择题（本期满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分；不选、错选或选出的标号超过一个的不得分.
1．（3分）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（ ）
A．点A与点D
B．点A与点C
C．点B与点D
D．点B与点C
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）青岛“最美地铁线”连接崂山和即墨的地铁11号线全长约58km，数据58km用科学记数法可表示为（ ）m． A．0.58×10
32
5
B．58×10
2
2
4
C．5.8×10
4
D．5.8×10
5
4．（3分）计算（2ab）÷ab的结果为（ ） A．2a
2
B．2ab
52
C．4ab
42
D．4ab
52
5．（3分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C，那么点A、B的对应点A′、B′的坐标分别是（ ）
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【2020年中考数学——精品提分卷】
A．（﹣3，3）、（﹣2，4） B．（3，﹣3）、（1，4） C．（3，﹣3）、（﹣2，4）
D．（﹣3，3）、（1，4）
6．（3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝50°，则∠BCD的度数为（
A．35°
B．40°
C．55°
D．75°
7．（3分）已知反比例函数y＝的图象如图，则二次函数y＝2kx2
﹣4x+k2
的图象大致为（
A． B．
C． D．
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） ）
【2020年中考数学——精品提分卷】 8．（3分）我们知道，一元二次方程x＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数平方等于﹣1．若我们规定一个新数i，使其满足i＝﹣1（即x＝﹣1方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i＝i，i3
2
4
2
2
2
1
2
2
2
2
＝﹣1，i＝i•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i＝（i）＝（﹣1）＝1，从而对任意正整数n，我们可以得到i4n+1
＝i•i＝（i）•i，同理可得i4n4n4n+2
＝﹣1，i4n+3
＝﹣i，i＝1，那么
4ni+i2+i3+i4+…+i2018+i2019的值为（ ）
A．0
B．﹣1
C．i
D．1
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9．（3分）化简：
＝ ．
10．（3分）甲、乙两同学参加学校运动员铅球项目选拔赛，各投掷6次，记录成绩，计算平均数和方差的结果为：
＝10.5，
＝10.5，S甲＝0.61，S乙＝0.50，则成绩较
2
2
稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
11．（3分）已知一元二次方程x﹣8x+15＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为 ．
12．（3分）某内陆国家为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h．求汽车原来的平均速度．设汽车原来的平均速度为xkm/h，则可列方程为 ．
13．（3分）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为 cm．（结果保留π）
22
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【2020年中考数学——精品提分卷】
14．（3分）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，点D在边AB上，以CD为折痕将△CBD折叠得到△CPD，CP与边AB交于点E，若△DEP为直角三角形，则BD的长是
三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 15．（4分）已知：如图，四边形ABCD．
求作：点P，使PC∥AB，且点P到点A和点B的距离相等． 结论：
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16．（8分）（1）化简
．
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【2020年中考数学——精品提分卷】 （2）解不等式组：．
17．（6分）在学校开展的数学活动课上，小明和小刚制作了一个正三棱锥（质量均匀，四个面完全相同），并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：每人投掷三棱锥一次，并记录底面的数字，如果底面数字的和为奇数，那么小明赢；如果底面数字的和为偶数，那么小刚赢．
（1）请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中的所有可能结果． （2）请分别求出小明和小刚能赢的概率，并判断此游戏对双方是否公平．
18．（6分）为了丰富校园文化，某校决定举行学生趣味运动会，将比赛项目确定为袋鼠跳，夹球跑，跳大绳，绑腿跑和拔河赛5项，为了解学生对这5项运动的喜欢情况，随机调
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【2020年中考数学——精品提分卷】 查了该校部分学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择5项中的一种），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图表： 根据图表中提供的信息解答下列问题： （1）求a，b的值．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）根据调查结果，请你估计该校2500名学生中有多少名学生最喜欢绑腿跑． 学生最喜欢的活动项目的人数统计表
项目 袋鼠跳 夹球跑 跳大绳 绑腿跑 拔河赛
学生数（名）
45
百分比（%）
15 10 25 20 30
a
75
b
90
19．（6分）共享单车为人们的生活带来了极大的便利．如图，一辆单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A，B之间的距离为49cm，现测得AC，BC与AB的夹角分别为45°，68°．若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中
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【2020年中考数学——精品提分卷】 轴E处与点B的距离BE为5cm，求点E到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50．）
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y2＝
（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣4，2），B（2，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）连接OA，OB，求△AOB的面积．
（3）直接写出当0＜y1＜y2时，自变量x的取值范围．
21．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：AF＝DC；
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【2020年中考数学——精品提分卷】 （2）△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？并证明你的结论．
22．（10分）某电子厂商设计了一款制造成本为18元新型电子厂品，投放市场进行试销．经过调查，得到每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的部分数据如下：
销售单价x（元/件） 每月销售量y（万件）
… …
20 60
25 50
30 40
35 30
… …
（1）求出每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （2）求出每月的利润z（万元）与销售单x（元）之间的函数关系式．
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售利润率不能高于50%，而且该电子厂制造出这种产品每月的制造成本不能超过900万元．那么并求出当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（利润＝售价﹣制造成本）
23．（10分）【问题提出】|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|最小值是多少？ 【阅读理解】
为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．|a|的几何意义是a这个数在数轴上对
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【2020年中考数学——精品提分卷】 应的点到原点的距离．那么|a﹣1|可以看做a这个数在数轴上对应的点到1的距离；|a﹣1|+|a﹣2|就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究|a﹣1|+|a﹣2|的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示：
（1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1．
（3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 【问题解决】
（1）|a﹣2|+|a﹣5|的几何意义是 ．请你结合数轴探究：|a﹣2|+|a﹣5|的最小值是 ．
（2）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的几何意义是 ．请你结合数轴探究：|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a为 ．
（3）求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|的最小值． （4）求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|的最小值． 【拓展应用】
请在图⑤的数轴上表示出a，使它到2，5的距离之和小于4，并直接写出a的范围．
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【2020年中考数学——精品提分卷】
24．（12分）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝4cm，AD＝3cm，动点M，N分别从点D，B同时出发，都以1cm/s的速度运动．点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于点O，连接MP．已知动点运动了ts（0＜t＜3）． （1）当t为多少时，PM∥AB？
（2）若四边形CDMP的面积为S，试求S与t的函数关系式．
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t使四边形CDMP面积与四边形ABCD面积比为3：8？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）在点M，N运动过程中，△MPA能否成为一个等腰三角形？若能，求出所有可能的t值；若不能，试说明理由．
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【2020年中考数学——精品提分卷】 2020年山东省青岛市局联考中考数学一模试卷
参与试题解析
一、选择题（本期满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分；不选、错选或选出的标号超过一个的不得分.
1．（3分）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（ ）
A．点A与点D
B．点A与点C
C．点B与点D
D．点B与点C
【解答】解：2与﹣2互为相反数， 故选：A．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
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【2020年中考数学——精品提分卷】 3．（3分）青岛“最美地铁线”连接崂山和即墨的地铁11号线全长约58km，数据58km用科学记数法可表示为（ ）m． A．0.58×10
5
B．58×10
4
4
C．5.8×10
4
D．5.8×10
5
【解答】解：58km＝5.8×10m， 故选：C．
4．（3分）计算（2ab）÷ab的结果为（ ） A．2a
2
32
2
2
B．2ab
2
52
C．4ab
42
D．4ab
52
【解答】解：原式＝4ab÷ab ＝4ab 故选：D．
5．（3分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C，那么点A、B的对应点A′、B′的坐标分别是（ ）
52
A．（﹣3，3）、（﹣2，4） C．（3，﹣3）、（﹣2，4）
B．（3，﹣3）、（1，4） D．（﹣3，3）、（1，4）
【解答】解：如图，点A、B的对应点A′、B′的坐标分别（﹣3，3），（1，4）．
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【2020年中考数学——精品提分卷】
故选：D．
6．（3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝50°，则∠BCD的度数为（
A．35° B．40°
C．55°
D．75°
【解答】解： 如图，连接AC， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ABD＝50°， ∴∠ACD＝∠ABD＝50°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣50°＝40°， 故选：B．
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）
【2020年中考数学——精品提分卷】
7．（3分）已知反比例函数y＝
的图象如图，则二次函数y＝2kx﹣4x+k的图象大致为（ ）
2
2
A． B．
C． D．
的图象经过二、四象限，∴k＜0，
【解答】解：∵函数y＝
由图知当x＝﹣1时，y＝﹣k＞1，∴k＜﹣1， ∴抛物线y＝2kx﹣4x+k开口向下， 对称轴为x＝﹣
＝
，﹣1＜
＜0，
2
2
∴对称轴在﹣1与0之间， 故选：D．
8．（3分）我们知道，一元二次方程x＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数平方等于﹣1．若我们规定一个新数i，使其满足i＝﹣1（即x＝﹣1方程有一个根为i），并且进一步规
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2
2
2
【2020年中考数学——精品提分卷】 定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i＝i，i3
2
4
2
2
2
12
＝﹣1，i＝i•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i＝（i）＝（﹣1）＝1，从而对任意正整数n，我们可以得到i4n+1
＝i•i＝（i）•i，同理可得i4n4n4n+2
＝﹣1，i4n+3
＝﹣i，i＝1，那么
4ni+i2+i3+i4+…+i2018+i2019的值为（ ）
A．0
2
3
B．﹣1
4
2018
C．i
+i2019
2
3
4
2012
2
D．1
3
4
4×504+1
【解答】解：i+i+i+i+…+i×504+2
＝（i+i+i+i）+…+i（i+i+i+i）+…+i（i﹣1+i+1）+i﹣1﹣i＝﹣1．
+i4
+i4×504+3
＝（i﹣1﹣i+1）+…+i2012
故选：B．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9．（3分）化简：【解答】解：原式＝﹣＝﹣4+2 ＝﹣2． 故答案为﹣2．
10．（3分）甲、乙两同学参加学校运动员铅球项目选拔赛，各投掷6次，记录成绩，计算平均数和方差的结果为：
＝10.5，
＝10.5，S甲＝0.61，S乙＝0.50，则成绩较
2
2
＝ ﹣2 ． +
稳定的是 乙 （填“甲”或“乙”）． 【解答】解：因为S的是乙． 故答案为：乙．
11．（3分）已知一元二次方程x﹣8x+15＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为 11或13 ．
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2
2甲
＝0.61＞S2乙
＝0.50，方差小的为乙，所以本题中成绩比较稳定
【2020年中考数学——精品提分卷】 【解答】解：x﹣8x+15＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x﹣5）＝0， 可得x﹣3＝0或x﹣5＝0， 解得：x1＝3，x2＝5，
若3为底边，5为腰时，三边长分别为3，5，5，周长为3+5+5＝13； 若3为腰，5为底边时，三边长分别为3，3，5，周长为3+3+5＝11， 综上，△ABC的周长为11或13． 故答案为：11或13
12．（3分）某内陆国家为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h．求汽车原来的平均速度．设汽车原来的平均速度为xkm/h，则可列方程为
＝
+2 ．
2
【解答】解：设汽车原来的平均速度为xkm/h，则公路升级后汽车的平均速度为（1+50%）
xkm/h，
依题意，得：
＝
+2．
故答案为：＝+2．
13．（3分）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为
π cm．（结果保留π）
2
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【2020年中考数学——精品提分卷】
【解答】解：∵∠BOC＝60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的， ∴∠B′OC′＝60°，△BCO＝△B′C′O， ∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°， ∴∠B′OB＝120°， ∵AB＝2cm， ∴OB＝1cm，OC′＝
，
∴B′C′＝，
∴S扇形B′OB＝＝π，
S扇形C′OC＝
∵
＝，
∴阴影部分面积＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC＝S扇形B′OB﹣S扇形C′OC＝π﹣＝
π； 故答案为：
π．
14．（3分）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，点D在边AB上，以CD为折痕将△CBD折叠得到△CPD，CP与边AB交于点E，若△DEP为直角三角形，则BD的长是
或2﹣2 第 2 页 / 共 33 页
【2020年中考数学——精品提分卷】
【解答】解：如图1中，当∠EDF＝90°时，作CH⊥AB于H．
在Rt△ACB中，∵AC＝2，BC＝4， ∴AB＝∴CH＝
＝2
，
＝，
∵∠ACB＝∠AHC＝90°，
∴∠ACH+∠BCH＝90°，∠BCH+∠B＝90°， ∴∠ACH＝∠B＝∠F， ∵CH∥DF， ∴∠F＝∠HCE，
∴∠ACH＝∠HCE，∠DCE＝∠DCB， ∴∠HCD＝45°， ∴HC＝HD＝
，
∵AH＝＝，
∴BD＝AB﹣AH﹣DH＝2﹣＝．
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【2020年中考数学——精品提分卷】
如图2中，当∠DEF＝90°时，设DE＝x，则EF＝2x，DF＝BD＝
x，
∵AE+DE+BD＝2∴
+x+
，
x＝2，
∴x＝﹣，
∴BD＝x＝2﹣2．
或2
﹣2．
综上所述，BD的长为
故答案为或2﹣2．
三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 15．（4分）已知：如图，四边形ABCD．
求作：点P，使PC∥AB，且点P到点A和点B的距离相等． 结论：
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【2020年中考数学——精品提分卷】 【解答】解：过C点作AB的平行线，再作AB的垂直平分线，它们相交于点P，
则点P为所作．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16．（8分）（1）化简
．
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）原式＝•﹣＝＝﹣；
（2），
由①得：x＞﹣1， 由②得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
17．（6分）在学校开展的数学活动课上，小明和小刚制作了一个正三棱锥（质量均匀，四个面完全相同），并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：每人投掷三棱锥一次，并记录底面的数字，如果底面数字的和为奇数，那么小明赢；如果底面数字的和为偶数，那么小刚赢．
（1）请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中的所有可能结果． （2）请分别求出小明和小刚能赢的概率，并判断此游戏对双方是否公平．
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【2020年中考数学——精品提分卷】
【解答】解：（1）列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
（2）从图表可知，共有16种等可能的情况，其中两次所掷数字的和为奇数的情况有8种，和为偶数的有8种， 所以小明获胜的概率为
、小刚获胜的概率为
，
故此游戏对两人是公平的．
18．（6分）为了丰富校园文化，某校决定举行学生趣味运动会，将比赛项目确定为袋鼠跳，夹球跑，跳大绳，绑腿跑和拔河赛5项，为了解学生对这5项运动的喜欢情况，随机调查了该校部分学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择5项中的一种），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图表： 根据图表中提供的信息解答下列问题： （1）求a，b的值．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）根据调查结果，请你估计该校2500名学生中有多少名学生最喜欢绑腿跑．
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【2020年中考数学——精品提分卷】 学生最喜欢的活动项目的人数统计表
项目 学生数（名）
袋鼠跳 45
夹球跑 a
跳大绳 75
绑腿跑 b
拔河赛
90
【解答】解：（1）由题可得，a＝45÷15%×10%＝30，
b＝300×20%＝60，
故答案为：30，60； （2）如图：
（3）2500×20%＝500（名）；
答：该校2500名学生中有500名学生最喜欢绑腿跑．
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百分比（%）
15 10 25 20 30
【2020年中考数学——精品提分卷】 19．（6分）共享单车为人们的生活带来了极大的便利．如图，一辆单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A，B之间的距离为49cm，现测得AC，BC与AB的夹角分别为45°，68°．若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为5cm，求点E到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50．）
【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，
设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝CHcot68°＝0.4x， 由AB＝49知x+0.4x＝49， 解得：x＝35， ∵BE＝5，
∴EF＝BEsin68°＝4.65，
则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+4.65≈67.7（cm）， 答：点E到地面的距离约为67.7cm．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）
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【2020年中考数学——精品提分卷】 与反比例函数y2＝（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣4，2），B（2，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）连接OA，OB，求△AOB的面积．
（3）直接写出当0＜y1＜y2时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，2）， ∴将A坐标代入反比例函数解析式y2＝
中，得m＝﹣8，
∴反比例函数解析式为y＝；
将B坐标代入y＝，得n＝﹣4，
∴B坐标（2，﹣4），
将A与B坐标代入一次函数解析式中，得
，解得
，
∴一次函数解析式为y1＝﹣x﹣2；
（2）一次函数解析式为y1＝﹣x﹣2，即x+y1+2＝0， 点O到直线AB的距离h＝
，
∵点A（﹣4，2）、点B（2，﹣4），
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【2020年中考数学——精品提分卷】 ∴AB＝△AOB的面积为
，
；
（3）直线y1＝﹣x﹣2与x轴的交点坐标为（﹣2，0）， 故当0＜y1＜y2时，自变量x的取值范围为﹣4＜x＜﹣2．
21．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：AF＝DC；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？并证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E为AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AFE和△DBE中
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴AF＝BD，
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【2020年中考数学——精品提分卷】 又AD为中线， ∴BD＝CD， ∴AF＝CD；
（2）△ABC是等腰三角形，即AC＝AB， ∵AF＝CD，且AF∥CD， ∴四边形ADCF为平行四边形， 当AC＝AB时，∵AD为BC边上的中线， ∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF为矩形．
22．（10分）某电子厂商设计了一款制造成本为18元新型电子厂品，投放市场进行试销．经过调查，得到每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的部分数据如下：
销售单价x（元/件） 每月销售量y（万件）
… …
20 60
25 50
30 40
35 30
… …
（1）求出每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （2）求出每月的利润z（万元）与销售单x（元）之间的函数关系式．
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售利润率不能高于50%，而且该电子厂制造出这种产品每月的制造成本不能超过900万元．那么并求出当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（利润＝售价﹣制造成本）
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【2020年中考数学——精品提分卷】 【解答】解：（1）设销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y＝kx+b， 把（20，60），（30，40）代入y＝kx+b得
，
解得：，
∴每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y＝﹣2x+100； （2）由题意得，z＝y（x﹣18） ＝（﹣2x+100）（x﹣18） ＝﹣2x+136x﹣1800；
（3）∵厂商每月的制造成本不超过900万元，每件制造成本为18元， ∴每月的生产量为：小于等于
＝50万件，
2
y＝﹣2x+100≤50，
解得：x≥25，
又由销售利润率不能高于50%，得x≤27， 则25≤x≤27，
∵z＝﹣2x+136x﹣1800＝﹣2（x﹣34）+512， ∴图象开口向下，对称轴左侧z随x的增大而增大， ∴x＝27时，z最大为：414万元．
当销售单价为27元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为414万元． 23．（10分）【问题提出】|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|最小值是多少？ 【阅读理解】
为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．|a|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离．那么|a﹣1|可以看做a这个数在数轴上对应的点到1的距离；|a第 2 页 / 共 33 页
2
2
【2020年中考数学——精品提分卷】 ﹣1|+|a﹣2|就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究|a﹣1|+|a﹣2|的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示：
（1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1．
（3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 【问题解决】
（1）|a﹣2|+|a﹣5|的几何意义是 a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和 ．请你结合数轴探究：|a﹣2|+|a﹣5|的最小值是 3 ．
（2）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的几何意义是 a这个数在数轴上对应的点到1、2和3三个点的距离之和 ．请你结合数轴探究：|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是 2 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a为 2 ． （3）求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|的最小值． （4）求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|的最小值． 【拓展应用】
请在图⑤的数轴上表示出a，使它到2，5的距离之和小于4，并直接写出a的范围．
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【2020年中考数学——精品提分卷】
【解答】解：（1）|a﹣2|+|a﹣5|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；
当a在5和2之间时（包括在5，2上），
可以看出a到5和2的距离之和等于3， 此时|a﹣2|+|a﹣5|取得最小值是3；
故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3．
（2）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1、2和3三个点的距离之和．
当a取中间数时，绝对值最小，|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是1+0+1＝2； 如图所示：
故答案为：a这个数在数轴上对应的点到1、2和3三个点的距离之和；2；2． （3）当a取中间数3时，绝对值最小，
|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|的最小值是：2+1+0+1+2＝6． （4）当a取中间数1010时，绝对值最小，
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【2020年中考数学——精品提分卷】 |a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|…+|a﹣2019|的最小值为：
1009+1008+1007+…+1+0+1+2+3+…+1009＝1009×（1009+1）＝1019090．
24．（12分）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝4cm，AD＝3cm，动点M，N分别从点D，B同时出发，都以1cm/s的速度运动．点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于点O，连接MP．已知动点运动了ts（0＜t＜3）． （1）当t为多少时，PM∥AB？
（2）若四边形CDMP的面积为S，试求S与t的函数关系式．
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t使四边形CDMP面积与四边形ABCD面积比为3：8？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）在点M，N运动过程中，△MPA能否成为一个等腰三角形？若能，求出所有可能的t值；若不能，试说明理由．
【解答】解：（1）∵PM∥AB，AB∥PN， ∴PM与PN共直线， ∴MN∥AB， ∴AM＝NB， ∴3﹣t＝t， 得t＝
；
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【2020年中考数学——精品提分卷】
（2）如图，延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，
由题意知，DM＝BN＝t，AM＝CN＝3﹣t， ∵PN∥AB， ∴△PNC∽△ABC， ∴
＝
，即
＝
，
解得：PN＝（3﹣t）＝4﹣t，
∵PQ⊥AD，
∴∠QAB＝∠B＝∠NQA＝90°， ∴四边形ABNQ是矩形， 则AB＝QN＝4， ∴PQ＝QN﹣PN＝4﹣（4﹣
t）＝t，
∴四边形CDMP的面积s＝×3×4﹣×（3﹣t）×t＝t2﹣2t+6；
（3）∵S矩形ABCD＝3×4＝12，
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【2020年中考数学——精品提分卷】 ∴＝＝，
解得：t＝，
所以t＝时四边形CDMP的面积与四边形ABCD的面积比为3：8；
（4）△MPA能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明： ①若PM＝PA， ∵PQ⊥MA，
∴四边形ABNQ是矩形， ∴QA＝NB＝t， ∴MQ＝QA＝t， 又∵DM+MQ+QA＝AD ∴3t＝3，即t＝1
②若MP＝MA，则MQ＝3﹣2t，PQ＝
t，MP＝MA＝3﹣t，
2
2
2
在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP＝MQ+PQ ∴（3﹣t）＝（3﹣2t）+（
2
2
t）2，
解得：t＝（t＝0不合题意，舍去）
③若AP＝AM， 由题意可得：AP＝
t，AM＝3﹣t
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【2020年中考数学——精品提分卷】 ∴t＝3﹣t，
解得：t＝
综上所述，当t＝1或t＝或t＝时，△MPA是等腰三角形．
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