数列极限和数学归纳法练习(有 答案)

一、知识点整理：

数列极限：数列极限的概念、数列极限的四则运算法则、常见数列的极限公式以及无穷等比数列各项的和

要求：理解数列的概念，掌握数列极限的四则运算法则和常见数列的极限，掌握公比q当0时无穷等比数列前n项和的极限公式及无穷等比数列各项和公式，并用于解决简单的问题。 1、理解数列极限的概念：n2q11,(1)n,等数列的极限

n2、极限的四则运算法则：使用的条件以及推广

10,limqn0(q1),limCC nnnna4、无穷等比数列的各项和：SlimSn1(0q1)

n1q3、常见数列的极限：lim数学归纳法：数学归纳法原理，会用数学归纳法证明恒等式和整除性问题，会利用“归纳、猜想和

证明”处理数列问题 （1）、证明恒等式和整除问题（充分运用归纳、假设，拆项的技巧，如证明32n28n9能被

8(k1)9）9(38k9)(k1)）整除，3，证明的目标非常明确； （2）、“归纳－猜想－证明”，即归纳要准确、猜想要合理、证明要规范，这类题目也是高考考察数列的重点内容。 二、填空题

2k42k23n12n1、 计算：limn=_____3_____。

n32n1，Vn， 2、 有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，12lim(V1V2Vn)n 8 . 73、 limn201______

n3n1331 , n1(nN*)，前n项和为Sn，则limSn 4、 数列an的通项公式an1nn(n1) , n2=_____________.

321的等比数列，且lim(a1a3a5a2n1)4，则a1 3 ．

n26、 在等比数列an中，已知a1a232,a3a42，则lima1a2an_16______.

5、 设an是公比为

n77、 数列an的通项公式是an3n(2)n1，则 lim(a1a2an)=_______ .

n68、已知数列an是无穷等比数列，其前n项和是Sn，若a2a32，a3a41，

则limSn的值为

n16 . 39、设数列an满足当ann2（nN*）成立时，总可以推出an1(n1)2成立．下列四个命题： （1）若a39，则a416．（2）若a310，则a525．（3）若a525，则a416． （4）若an(n1)2，则an1n2．其中正确的命题是 （2）（3） （4） .（填写你认为正确的所有命题序号）

10、将直线l1：xy10，l2：nxyn0，l3：xnyn0（nN*，n2）围成的三角形面积记为Sn，则limSn___________．

n1211、在无穷等比数列an中，所有项和等于2，则a1的取值范围是 0,212、设无穷等比数列13、

2,4

15_____ 2{an}的公比为q，若

a2lim(a4a5nan)，则q=__2121,0，B0,2，C2,3，其中n为正整数，设Sn表示△

nnnnABC的面积，则limSn___2.5________．

已知点A1n14、

下列关于极限的计算，错误的序号___（2）___．（1）．．

==

（2）（3）

（（

++…+－n）=

）=+=

+…+=0+0+…+0=0 =；

（4）已知=

（15）已知fx是定义在实数集R上的不恒为零的函数，且对于任意a,bR，满足f22，

2f0f1；②fx是R上的偶函数；③数列an为等比数列；④数列bn为等差数列.其中

正确结论的序号有 ① ③ ④ ．

二、选择题：

fabafbbfa，记anf2n2n,bnf2nn，其中nN．考察下列结论：①

*an1bn15，则ab的值不可能16、已知a0,b0,若lim是… ………（ （D） ） ．．．nanbn（A） 7. （B）8. （C）9. （D）10.

r17、若limn12r2n1存在，则r的取值范围是 （ （A） ）

（A）r1或r ；（B）r1或r13111；（C）r1或r ；（D）1r 333观察下列式子：1((C) ) .

12231151117,1,1,，可以猜想结论为22232322324241112n11112n11 (B) (nN*)(nN*) 222222；23(n1)n23nn1112n11112n1(C) 122(D) (nN*)(nN*)122223(n1)2n123nn1；

(A)12n1n201219、已知an1n1，Sn是数列an的前n项和（ (A） ）

()n20122(A）liman 和limSn都存在 ； (B) liman和limSn都不存在 。

nnnn(C) liman存在，limSn不存在 ； (D) liman不存在，limSn存在。

nnnn20、设双曲线nx(n1)y1(nN)上动点P到定点Q(1,0)的距离的最小值为dn，则limdnn22*的为（ (A） ） （A） （D）1 三、综合题： 21 （B） 22 （C） 0

21、在数列an中，a11,an2an1n2（1）求a2,a3,a4; (n2,nN)。n(n1)（2）猜想数列an的通项公式，并证明你的结论。 (1) a2,a3 8323591;(2) an32n2 ,a445n1x2y222、已知数列an满足an0，双曲线Cn:1(nN)。 anan1（1）若a11,a22，双曲线Cn的焦距为2cn，cn4n1， 求an的通项公式； （2）如图，在双曲线Cn的右支上取点Pn(xPn,n)，过Pn作y轴的 垂线，在第一象限内交Cn的渐近线于点Qn，联结OPn，记OPnQn 的面积为Sn。若liman2，求limSn。 nn（关于数列极限的运算，还可参考如下性质：若limunA(un0)， n则limunnA。） 29.（1）an

数列综合题

1. 定义：如果数列an的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称an为“三角形” 数列．对于“三角形”数列an，如果函数yf(x)使得bnf(an)仍为一个“三角形”数列，则称yf(x)是数列an的“保三角形函数”，(nN*).

(1)已知an是首项为2，公差为1的等差数列，若f(x)k,(k1)是数列an的“保三角形函

x2n1,nisodd1；（2）

22n2,niseven

数”，求k的取值范围；

Sn是数列cn的前n项和，(2)已知数列cn的首项为2010，且满足4Sn13Sn8040，证明cn是“三角形”数列。

解：(1)显然，对任意正整数都成立，即是三角形数列．

因为k>1，显然有，由得

，解得.

所以当时，是数列的“保三角形函数”.

(2) 由得,两式相减得

所以，，经检验，此通项公式满足

显然，因为，

所以

是“三角形”数列．

2. 已知数列an的前n项和为Sn，a11，3an14Sn3（n为正整数）.

（1）求数列an的通项公式；

（2）记Sa1a2an，若对任意正整数n，kSSn恒成立，求k的取值范围? （3）已知集合Axx2a(a1)x,a0，若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为Tn，问是否存在实数a使得对于任意的nN,均有TnA.若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.

3an14Sn3a123．(1) 由题意知，当n2时， 两式相减变形得:n1(n2)

an33an4Sn13a11 又n1时， a2，于是 2……… ………1分

a1331 故 {an}是以a11为首项，公比q的等比数列

3 an1*,(nN)… ………………4分 n1(3)413kS1(2) 由S=f(n)… ………5分  得 n3(3)n14131当n是偶数时，f(n)是n的增函数， 于是f(n)minf(2)88，故k… …7分

99当n是奇数时，f(n)是n的减函数， 因为limf(n)1，故k≤1．……………………9分

n8综上所述，k的取值范围是(,)… ………10分

9（3）①当a1时,A{x|1xa}，

T2aa，若

2T2A,则1aa2a.

a2a10,得a20,a1此不等式组的解集为空集.

即当a1时,不存在满足条件的实数a. ……13分 ②当0a1时,A{x|ax1}.

Tnaa2ana(1an)1a是关于n的增函数.

而

且nlimTnaa,故Tn[a,).1a1a… ………15分

0a1,TnA,只需a11.0a.nN,1a2因此对任意的要使解得……………18分

3. 已知抛物线x4y，过原点作斜率为1的直线交抛物线于第一象限内一点P1，又过点P1作斜

211的直线交抛物线于点P2，再过P2作斜率为的直线交抛物线于点P3，241般地，过点Pn作斜率为n的直线交抛物线于点Pn1，设点Pn(xn,yn)．

2（1）求x3x1的值；

率为

（2）令bnx2n1x2n1，求证：数列{bn}是等比数列； （3） 记求点

，如此继续。一

P奇(x奇,y奇) 为点列P1,P3,,P2n1, 的极限点，

P奇的坐标．

x24y解：（1）直线OP解得1 的方程为yx，由 yxP1(4,4)，……1分

x24y11直线P2P1的方程为y4x4，即yx2由 得P2(2,1)，……2分122 yx22x24y1139直线P2P3的方程为y1x2，即yx由 解得，P(3,)3134424 yx42所以x3x1341． ………………………………………………………3分

（2）因为Pn(xn,xn2)，Pn1(xn1,xn12)，由抛物线的方程和斜率公式得到

441181xn12xn214nxn1xnn…5分 所以xnxn1n，两式相减得

24xn1xn224…6分 xn1xn1n2

4用2n代换n得bnx2n1x2n1n， 由（1）知，当n1时，上式成立，

444所以{bn}是等比数列，通项公式为bnn． …7分（3）由x2n1x2n1n 得，

44444x3x1，x5x32，……，x2n1x2n1n，…8分

4448481219以上各式相加得x2n1………10分所以，xlimxyx奇． 2n1奇奇nn334349816即点P奇的坐标为,． ……12分

39

33nn4、 设数列an的首项a1为常数a1，且an132an(nN*)．（1）证明：an是

553等比数列；（2）若a1，an中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存

2在说明理由．（3）若an是递增数列，求a1的取值范围．

1n133n52，所以数列an是等比数列；……3分 32． 证明：（1）因为

1n5an353n39（2）an是公比为－2，首项为a1的等比数列．通项公式为

5105an13n33n9n1ana1(2)(2)n1， 4分若an中存在连续三项成等差数列，则必有

555103n193n93n29nn12an1anan2，即2[(2)](2)(2)n1解得n4，即

510510510a4,a5,a6成等差数列．…7分

3n133n3na1(2)a1(2)n1对任意自然数均成立． （3）如果an1an成立，即

55554n3343n化简得 …9分当n为偶数时a13(a1)(2)n(),

1555152

343n因为p(n)()是递减数列，所以p(n)maxp(2)0，即a10；…10分

5152343n343当n为奇数时，a1(),因为q(n)()n是递增数列，

51525152所以q(n)minq(1)1，即a11；……11分 故a1的取值范围为(0,1)．……12分

5、 已知各项均不为零的数列an的前n项和为Sn，且4Snanan11nN，其中a11. （1）求证：a1,a3,a5成等差数列； （2）求证：数列an是等差数列； （3）设数列bn满足2bn12Tnlog2an1恒成立.

1nN，且Tn为其前n项和，求证：对任意正整数n，不等式an证：（1）当n1时，由a11，及4=4S1a1a21得a23; 当n2时，由4S24(13)a2a313a31得a35;……（2分）

当n3时，由4S34(135)a3a415a41得a47; 当n4时，由4S44(1357)a4a517a51得a59;……（4分）

由此可得：a1,a3,a5成等差数列. ……（5分） （2）当n2时，由4an4Sn4Sn1(anan11)(an1an1)an(an1an1), 由an0,故an1an14,即an2an4(nN). ……（7分）

从而a2m1a14(m1)4m32(2m1)1,a2ma24(m1)4m12(2m)1, 因此an2n1(nN),故数列an是等差数列. ……（10分）

6、 已知数列{an}、{bn}的各项均为正数，且对任意nN*，都有an，bn，an1成等差数列，bn

an1，bn1成等比数列，且a110，a215．

（1） 求证：数列{bn}是等差数列；（2）求数列{an}、{bn}的通项公式。 ann3n42,bnn422

7、 在数列an中，已知a21，前n项和为Sn，且Snn(ana1).（其中nN*）。（1）求数列 2an的通项公式；（2）求

（1）因为Sn（ 2分）

nlimSnn2。

n(ana1)2(a2a1)，令n2，得a1a2，所以a10；………………………22(a1a1)0） 2(n1)(an1a1)(n1)an1当n2时， Sn1 22（或者令n1，得a1an1Sn1Snaa(n1)an1nannn，n1，推得n1，…………（5分） an1a3122n3又a21，a32a23，所以an1n当n1,2时也成立，所以ann1，（nN*）………（ 6分）

（2）limSnn2n=

1………………………（ 9分） 2

8、已知数列{an}的前n项和为Sn，且Snan4，nN*（1）求数列{an}的通项公式；（2）已知cn2n3（nN*），记dncnlogCan(C0且C1)，是否存在这样的常数C，使得数列{dn}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由.

【解】（1）a14a1，所以a12…………………………1分

由Snan4得n2时，Sn1an14……2分 两式相减得，2anan1，

an1，……3分 an1212n的等比数列，所以an2（nN*）……5分 2数列{an}是以2为首项，公比为（2）由于数列{dn}是常数列

dn=cnlogCan2n3(2n)logC2………………6分

2n32logC2nlogC2(2logC2)n32logC2为常数………………7

分

只有2logC20,………………8分；解得C此时dn7……10分

9、已知有穷数列{an}各项均不相等，将{an}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{pn}，．．．．．．．．．称{pn}为{an}的“序数列”．例如数列：a1,a2,a3满足a1a3a2，则其序数列{pn}为1,3,2． （1）写出公差为d(d0)的等差数列a1,a2,2,………………9分

,an的序数列{pn}；

（2）若项数不少于5项的有穷数列{bn}、{cn}的通项公式分别是bnn()n(nN)，

*35cnn2tn(nN*)，且{bn}的序数列与{cn}的序数列相同，求实数t的取值范围。

23、解：(1)当d0时，序数列{pn}为n,n1,当d0时，序数列{pn}为1,2,(2)因为bn1bn()n,2,1；……………………..2’

,n1,n……………………..4’

3532n，……………………..5’ 5当n1时，易得b2b1，当n2时，bn1bn， 又因b1333，b33()3，b44()4，b4b1b3， 555bn，

,n，……………………..8’

即b2b3b1b4故数列{bn}的序数列为2,3,1,4,所以对于数列{cn}有2t5， 22解得：4t5……………………..10’