初中-数学-中考-一元二次方程及其应用

一、选择题（共12小题，每题3分，满分36分）

1、 关于x的一元二次方程(m1)x25xm23m20的常数项为0，则m等于（ ）

A. 1

B. 2

C. 1或2

D. 0

2、方程2x26x10的两根为x1、x2，则x1x2等于（ ）

A. 6

B. 6

C. 3

D. 3

3、用配方法解方程x28x90，变形后的结果正确的是（ ）

A. (x4)29 C. (x4)225

B. (x4)27 D. (x4)27

4、若关于x的一元二次方程x22xk0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）

A. k1

B. k1

C. k1

D. k1

5、已知a，b是方程x2x30的两个实数根，则a2b2019的值是（ ）

A. 2023

B. 2021

C. 2020

D. 2019

6、等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x26xk0的两个实数根，则k的值是（ ）

A. 8 B. 9 C. 8或9 D. 12

7、一元二次方程x2x10的根的情况是（ ）

A. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根

B. 有两个相等的实数根 D. 无法判断

8、关于x的一元二次方程x2kx20(k为实数）根的情况是（ ）

A. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根

B. 有两个相等的实数根 D. 不能确定

9、若23是方程x24xc0的一个根，则c的值是（ ）

A. 1

B. 33 C. 13

D. 23

10、 若x22px3q0的两根分别是3与5，则多项式2x24px6q可以分解为（ ）

A. (x3)(x5) C. 2(x3)(x5)

B. (x3)(x5) D. 2(x3)(x5)

11、某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两

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年平均每年绿地面积的增长率是（ ）

A. 20%

B. 11%

C. 22%

D. 44%

12、用总长10m的铝合金型材做一个如图所示的窗框（不计损耗），窗框的外围是矩形，上部是两个全等的正方形，窗框的总面积为3.52m2（材料的厚度忽略不计）．若设小正方形的边长为xm，下列方程符合题意的是（ ）

A. 2x(107x)3.52 C. 2x(x107x)3.52 2B. 2x107x3.52 2D. 2x22x(109x)3.52

二、填空题（共8小题，每题3分，满分24分）

13、已知x1是方程x2bx20的一个根，则方程的另一个根是______． 14、已知23是关于x的方程x24xm0的一个根，则m______．

15、若关于x的方程x22xm0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 16、设x1、x2是方程x23x20的两个根，则x1x2x1x2______．

17、已知关于x的一元二次方程x2(2k1)xk230有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是______．

18、一元二次方程x(x2)x2的根是______．

19、若关于x的一元二次方程ax28x40有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．

20、已知关于x的一元二次方程ax22x2c0有两个相等的实数根，则等于______．

三、解答题（共6小题，满分60分） 21、解方程： （1）x22x50； （2）

14． x2x11c的值a22、关于x的一元二次方程x23xk0有实数根． （1）求k的取值范围；

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（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m1)x2xm30与方程x23xk0有一个相同的根，求此时m的值．

23、已知关于x的方程x22xm0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 24、关于x的一元二次方程ax2bx10．

（1）当ba2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．

25、某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．

假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本．

26、在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造． （1）原计划今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？

（2）到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值．2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1:2，且里程数之比为2:1．为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%(a0)，并全部用于道路硬化和道5a%，路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，8a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，

求a的值．

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参考答案

1、【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 【解答】根据题意，知， m10， 2m3m20解方程得：m2． 选B. 2、【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系． 【解答】由于△0， x1x23，

选C． 3、【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程的解法-配方法． 【解答】方程x28x90，整理得：x28x9， 配方得：x28x167，即(x4)27， 选D． 4、【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．

【解答】关于x的一元二次方程x22xk0有两个不相等的实数根，

b24ac441(k) 44k0， k1．

选B． 5、【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系． 【解答】a，b是方程x2x30的两个实数根， b3b2，ab1，ab3，

a2b2019a23b22019(ab)22ab20161620162023；

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选A． 6、【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、及一元二次方程的应用． 【解答】当等腰三角形的底边为2时，

此时关于x的一元二次方程x26xk0的有两个相等实数根，

△364k0，

k9，

此时两腰长为3， 233， k9满足题意，

当等腰三角形的腰长为2时，

此时x2是方程x26xk0的其中一根， 412k0， k8，

此时另外一根为：x4，

224，

不能组成三角形，

综上所述，k9， 选B． 7、【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式． 【解答】△(1)24(1)50，

方程有两个不相等的两个实数根．

选A． 8、【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式． 【解答】由根的判别式得，△b24ack280 故有两个不相等的实数根 选A． 9、【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程的根．

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【解答】把23代入方程x24xc0，得(23)24(23)c0， 解得c1； 选A． 10、【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法． 【解答】

x22px3q0的两根分别是3与5，

2x24px6q2(x22px3p) 2(x3)(x5)，

选C． 11、【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程的应用．

【解答】设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得，

(1x)2144%，

解得x12.2（舍去），x20.2．

答：这两年平均每年绿地面积的增长率为20%． 选A． 12、【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的应用．

【解答】设小正方形的边长为xm，则小矩形的宽为2xm，长为：依题意得：2x选B． 13、【答案】-2

【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系． 【解答】x1是方程x2bx20的一个根，

107xm， 2107x3.52． 2x1x2c2， a1x22，

则方程的另一个根是：2， 故答案为2． 14、【答案】1

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【分析】本题考查了一元二次方程的根．

【解答】把x23代入方程得(23)24(23)m0， 解得m1． 故答案为1． 15、【答案】m≤1

【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式． 【解答】根据题意得△224m0， 解得m1． 故答案为m1． 16、【答案】1

【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系． 【解答】x1、x2是方程x23x20的两个根， x1x23，x1x22，

x1x2x1x2321；

故答案为1； 17、【答案】k11 4【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式． 【解答】原方程有两个不相等的实数根，

△(2k1)24(k23)4k1120，

解得k11； 411． 4故答案为：k18、【答案】1或2

【分析】本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法． 【解答】x(x2)x2， x(x2)(x2)0， (x2)(x1)0， x20，x10， x12，x21，

故答案为：1或2．

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19、【答案】a＜4且a≠0

【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式． 【解答】由题意可知：△6416a0， a4， a0， a4且a0，

故答案为：a4且a0 20、【答案】2

【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式． 【解答】根据题意得： △44a(2c)0， 整理得：4ac8a4， 4a(c2)4，

方程ax22x2c0是一元二次方程， a0，

等式两边同时除以4a得：c2则

1c2， a1， a故答案为：2． 21、【答案】见解答．

【分析】本题考查了一元二次方程的解法． 【解答】（1）a1，b2，c5，

△441(5)240，

则x22616， 2x116,x216；

（2）两边都乘以(x1)(x2)，得：x14(x2)， 解得x3，

经检验x3是方程的解． 22、【答案】（1）k93；（2）． 42【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式． 【解答】（1）根据题意得△(3)24k0，

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解得k9； 4（2）k的最大整数为2，

方程x23xk0变形为x23x20，解得x11，x22，

一元二次方程(m1)x2xm30与方程x23xk0有一个相同的根，

当x1时，m11m30，解得m3； 2当x2时，4(m1)2m30，解得m1， 而m10， m的值为

3． 223、【答案】m1．

【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式． 【解答】方程x22xm0有两个不相等的实数根，

△(2)241m44m0，

解得：m1． 24、【答案】见解答．

【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式． 【解答】（1）a0，

△b24a(a2)24aa24a44aa24， a20，

△0，

方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根，

△b24a0，

若b2，a1，则方程变形为x22x10，解得x1x21． 25、【答案】（1）5%（2）342.95万元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 【解答】（1）设每个月生产成本的下降率为x， 根据题意得：400(1x)2361，

解得：x10.055%，x21.95（不合题意，舍去）． 答：每个月生产成本的下降率为5%．

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（2）361(15%)342.95（万元）．

答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元． 26、【答案】（1）40（2）10．

【分析】本题考查了一元二次方程的应用．

【解答】（1）设道路硬化的里程数是x千米，则道路拓宽的里程数是(50x)千米， 根据题意得：x4(50x)， 解得：x40．

答：原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是40千米．

（2）设2017年通过政府投人780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数分别为2x千米、x千米， 2xx45， x15，

2x30，

设每千米的道路硬化和道路拓宽的经费分别为y万元、2y万元， 30y152y780， y13， 2y26，

2018年1至5月：道路硬化的里程为40千米，道路拓宽的里程为10千米， 由题意得：13(1a%)40(15a%)26(15a%)10(18a%)780(110a%)， 设a%m，则520(1m)(15m)260(15m)(18m)780(110m)， 10m2m0，

m11，m20（舍)， 10a10．

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