题型一：等差、等比数列的概念与性质

例题1.已知数列an的首项a12a1（a是常数，且a1），an2an1n24n2（n2），数列bn的首项b1a，bnann2（n2）。

（1）证明：bn从第2项起是以2为公比的等比数列；

（2）设Sn为数列bn的前n项和，且Sn是等比数列，求实数a的值； （3）当a>0时，求数列an的最小项。

分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由a的不同而要分类讨论。 解：（1）∵b2nann

∴b2n1an1(n1)2an(n1)24(n1)2(n1)22a2n2n2bn(n≥2) 由a12a1得a24a，b2a244a4，∵a1，∴ b20， 即{bn}从第2项起是以2为公比的等比数列。

）S(4a4)(2n1（21)na213a4(2a2)2n

当n≥2时，SnS(2a2)2n3a413a423a4(a1)2n13a4 n1(2a2)2n∵{S4n}是等比数列, ∴SnS(n≥2)是常数，∴3a+4=0，即a 。n13

（3）由（1）知当n2时，bn(4a4)2n2(a1)2n，

所以a2a1(n1)n，所以数列(a1)2nn2(n2)an为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，…… 显然最小项是前三项中的一项。

当a(0,1)时，最小项为8a-1； 当a144时，最小项为4a或8a-1；

当a(114,2)时，最小项为4a； 当a12时，最小项为4a或2a+1；

当a(12,)时，最小项为2a+1。

点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。

1

例题2. （1）数列{an}和{bn}满足an1， (b1b2bn) （n=1，2，3…）

n

求证{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列。

（3）数列{an}和{cn}满足cnan2an1(nN*)，探究{an}为等差数列的充分必要条件。[提示：设数列{bn}为bnanan2(n1,2,3)

分析：本题第（1）问的充要条件的解决可以分别设出等比、等差数列的通项；对探究问题我们通常采用的是先假设再论证。

证明：（1）必要性 若{bn}为等差数列，设首项b1，公差d 则an∵an1an1n(n1)n1(nb1d)b1d n22dd, ∴{an}为是公差为的等差数列 22充分性 若{an}为等差数列，设首项a1，公差d

则b1b2bnn[a1(n1)d]dn(a1d)n

2b1b2bn1d(n1)2(a1d)(n1)(n2) ∴bn2dn(a12d)(n2)

当n=1时，b1=a1也适合 ∵bn+1－bn=2d， ∴{bn}是公差为2d的等差数列 （2）结论是：{an}为等差数列的充要条件是{cn}为等差数列且bn=bn+1

其中bnanan2 （n=1，2，3…）

点评：本题考查了等差、等比数列的基本知识，但解决起来有一定的难度，同时还需要对问题进一步深入下去。

例题3. 已知数列an的首项a12a1（a是常数，且a1），an2an1n24n2（n2），数列bn的首项b1a，bnann2（n2）。

（1）证明：bn从第2项起是以2为公比的等比数列；

（2）设Sn为数列bn的前n项和，且Sn是等比数列，求实数a的值； （3）当a>0时，求数列an的最小项。

分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由a的不同而要分类讨论。 解：（1）∵bnann

∴bn1an1(n1)2an(n1)4(n1)2(n1) 2an2n2bn(n≥2)

由a12a1得a24a，b2a244a4，

2

22222

∵a1，∴ b20，

即{bn}从第2项起是以2为公比的等比数列。

2）S(4a4)(2n1（1)na213a4(2a2)2n

当n≥2时，Sn(2a2)2n3a4S2)2n13a423a4(a1)2n13a4 n1(2a∵{Sn}是等比数列, ∴Sn(n≥2)是常数，

Sn1∴3a+4=0，即a43 。 （3）由（1）知当n2时，b(4a4)2n2n(a1)2n，

所以a2a1(n1)n(a1)2nn2(n2)， 所以数列an为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，…… 显然最小项是前三项中的一项。 当a(0,14)时，最小项为8a-1；

当a14时，最小项为4a或8a-1； 当a(14,12)时，最小项为4a；

当a12时，最小项为4a或2a+1；

当a(12,)时，最小项为2a+1。

点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。

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